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一线名师指点高考 三角函数 ?【考点精析篇】： ● 典例剖析 ?例1：（1）若θ是第二象限的角，则的符号是什么? （2）π＜α+β＜，－π＜α－β＜－，求2α－β的范围。 剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限。 （2）可以把α+β与α－β看成两个变量（整体思想），然后把2α－β用这两个变量表示出来即可。 解：（1）∵2kπ+＜θ＜2kπ+π（k∈Z）， ∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0。 ∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0。 ∴＜0。 （2）设x=α+β，y=α－β，2α－β=mx+ny， 则2α－β=mα+mβ+nα－nβ=（m+n）α+（m－n）β。 ∴∴m=，n=。 ∴2α－β=x+y。 ∵π＜x＜，－π＜y＜－， ∴＜x＜，－＜y＜－。 ∴－π＜x+y＜。 评述：（1）解此题的常见错误是： π＜α+β＜π， ① －π＜α－β＜－， ② ①+②得0＜2α＜π， ③ 由②得＜β－α＜π， ④ ①+④得＜2β＜，∴＜β＜. ⑤ ∴－＜－β＜－. ⑥ ③+⑥得－＜2α－β＜。 （2）本题可用线性规划求解，读者不妨一试。 ?例2： 已知cosα=，且－＜α＜0， 求的值。 剖析：从cosα=中可推知sinα、cotα的值，再用诱导公式即可求之。 解：∵cosα=，且－＜α＜0， ∴sinα=－，cotα=－。 ∴原式===－cotα=。 评述：三角函数式的化简求值是三角函数中的基本问题，也是常考的问题之一。 ?例3： 已知sinβ=，sin（α+β）=1，求sin（2α+β）的值。 剖析：由已知sin（α+β）=1，则α+β=2kπ+，再将2α+β改造成2（α+β）－β即可求之。 解：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+。 ∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ=。 评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角函数名称之间的关系。 ?例4： 设cos（α－）=－，sin（－β）=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）。 剖析：=（α－）－（－β）。 依上述角之间的关系便可求之。 解：∵＜α＜π，0＜β＜， ∴＜α－＜π，－＜－β＜。 故由cos（α－）=－，得sin（α－）=。 由sin（－β）=，得cos（－β）=。 ∴cos（）=cos［（α－）－（－β）］=…=。 ∴cos（α+β）=2cos2－1=…=－。 评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换。 ?例5： （2000年春季京、皖）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c。 证明：=。 剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理。 证明：由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA， b2=a2+c2－2accosB， ∴a2－b2=b2－a2－2bccosA+2accosB， 整理得=。 依正弦定理有=，=， ∴= =。 评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A+B+C=π，a+b＞c，a＞bA＞BsinA＞sinB等。 ?例6： 已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β－α的值。 剖析：由已知首先消去γ是解题关键。 解：由已知，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ。 平方相加得 （sinβ－sinα）2+（cosα－cosβ）2=1。 ∴－2cos（β－α）=－1.∴cos（β－α）=。 ∴β－α=±。 ∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=。 评述：本题极易求出β－α=±，如不注意隐含条件sinγ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件。 ?例7： 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值，若x∈［0，］呢？ 剖析：注意sinx+cosx与sinx·cosx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解。 解：令t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，］，则y=t2+t+1∈［，3+］，即最大值为3+，最小值为.当x∈［0，］时，则t∈［1，］，此时y的最大值是3+，而最小值是3。 评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围。 ?例8： 已知sin（x－）cos（x－）=－，求cos4x的值。 剖析：4x为2x的二倍角，2x为x的