二维随机向量的分布解析.ppt

* §3.1 随机向量的分布 定义3.1 例如, 则 是三维随机向量. 任一考生的语、数、外 一、随机向量及其分布 是定义在概率空间 一个 维随机向量. 一个人的身高和体重, 是二维随机向量. 设 分别表示 则 设 分别表示 任一钢块的长、宽、高, 设 分别表示 及综合的考试分数, 是四维随机向量. 设 上的n个随机变量， 则称 是 上的 定义3.2 称为随机向量 设 是 维随机向量, n元 的联合分布函数. 函数 的分布函数. 或 n个随机变量 例如 任一考生的语、数、英 设 分别表示 及综合的考试分数, 是四维随机向量. 定义3.2 称为随机向量 例如 设 是 维随机向量, n元 的联合分布函数. 当 时, 二维随机向量 的分布函数为 函数 的分布函数. 或 n个随机变量 对任意实数 其中 例如 抛掷两枚硬币， 令 第一枚出反面 第一枚出正面 第二枚出反面 第二枚出正面 (正, 正) (正, 反) (反,正) (反,反) 联合分布函数 具有性质： （1） （2） 关于 均单调不减. 即对任意固定的 当 时， 有 对任意固定的 当 时， 有 （3） 关于 均右连续. 即对任意实数 （4） 记 记 记 记 如果（X，Y）的分布函数 已知， 则 随机变量 随机变量 称为分布函数 关于X的边缘分布函数. 称为分布函数 关于Y的边缘分布函数. 的分布函数为： 的分布函数为： 二、离散型随机向量 定义3.3 的全部取值为 如果二维随机向量 或至多可列个, 为离散型的. 则随机向量 有限个 的概率分布 为二维离散型随机向量 都是离散型随机变量. 和 例 袋中装有1个红球, 2个白球, 3个黑球. 从中任 和 分别表示4球中 红球及白球的个数. 取4个, 的分布为: Y的分布为: 称为关于Y的 称为关于 的边缘分布. 边缘分布. 定义3.4 且取这些值的概率为: 联合分布常用表格表示: 联合分布具有性质: 1. 联合分布 设 是二维离散型随机向量, 的取值为 联合概率分布. 称上式为随机向量 可能 的概率分布， 或X和Y的 2. 边缘分布 的概率分布为: 设 随机变量X的分布为: 记为 记为 2. 边缘分布 随机变量X的分布为: 记为 记为 记为 随机变量X的分布为: 记为 记为 记为 称为关于X的边缘概率分布. 记为 随机变量Y的分布为: 记为 随机变量Y的分布为: 记为 随机变量Y的分布为: 记为 称为关于Y的边缘概率分布. 例 六个乒乓球中 有4个是新球， 第一次取出两个, X，Y分别表示 写出(X,Y)的分布. 解 用完后放回， 第二次再取出两个, 第一次和第二次 取到的新球数目. 2 1 0 2 1 0 关于X和Y的边缘分布: 可统一表示为 2 1 0 2 1 0 求以下概率： 三、连续型随机向量 定义3.5 设 是二维随机向量, 其分布函数 为 如果存在非负可积的 二元函数 使得对于任意实数对 有 则称(X,Y)为 称为(X，Y)的 或X与Y 的联合密度函数. 简称 密度函数. 记为 1.密度函数 二维连续型随机向量 概率密度函数 的概率密度函数 如果将随机向量(X,Y) 看成落在坐标平面上的 随机点, (X,Y)落在区域 的概率 在D上的二重积分. 密度函数 等于 定义3.5 设 是二维随机向量, 其分布函数 为 如果存在非负可积的 二元函数 使得对于任意实数对 有 则称(X,Y)为二维连续型随机向量 称为( X，Y )的概率密度函数 或X与Y 的联合密度函数. 简称 密度函数. 记为 密度函数具有性质: 对平面上任意 有 特殊地, 对平面上的任一矩形区域 有 （非负性） （归一性） 可度量的区域D, 例 解 其中 为平面上的 一个可度量的有界区域, 其面积 所以, 确定C的值. 为S(G), 设二维随机向量 定义 如果二维随机向量 的概率密度为 其中G为平面上的 一个可度量的有界区域, G的面积, 则称随机向量 此时对平面上任意 可度量的区域D, 均匀分布 对应几何概率. 是 服从G上的均匀分布. 例 设二维随机向量 其它 (1)确定系数 (2)求分布函数 解 根据归一性