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三、练习 分解因式：①x4+x2y2+y4 　　②x4+4 　　 ③x4－23x2y2+y4 2. 分解因式： ①x3+4x2－9 　 ②x3－41x+30 ③x3+5x2－18 　④x3－39x－70 3. 分解因式：①x3+3x2y+3xy2+2y3 　　　　　②x3－3x2+3x+7　 　　　　　　③x3－9ax2+27a2x－26a3 　　　④x3+6x2+11x+6　 　　　　　　⑤a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2 4. 分解因式：①3x3－7x+10　 ②x3－11x2+31x－21 ③x4－4x+3 ④2x3－5x2+1 5. 分解因式：①2x2－xy－3y2－6x+14y－8 ②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8 ③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48　④（2x－7）(2x+5)(x2－9)－91 6．分解因式： ①x2y2+1－x2－y2+4xy 　②x2－y2+2x－4y－3 ③x4+x2－2ax －a+1 ④（x+y）4+x4+y4 ⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3） 己知：n是大于1的自然数　　求证：4n2+1是合数 8．己知：f(x)=x2+bx+c, g(x)=x4+6x2+25, p(x)=3x4+4x2+28x+5 　　　且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式 求：当x=1时，f(x)的值 练习题参考答案 1. 添项，配成完全平方式(仿例3) 2.拆中项，仿例1 3. 拆项，配成两数和的立方 ①原式=(x+y)3+y3……③原式=(x-3a)3+a3 ⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)3 4. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6 ④x=时，原式=0，有因式2x－1 看着是某代数式的二次三项式，仿例7 　④原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x2-x-8)(2x2-x-28)=…… 分组配方 ③原式=(x2+1)2-(x+a)2…… ④把原式用乘法展开，合并，再分解 ⑤以a=－b代入原式＝0，故有因式a+b 可分解为两个非1的正整数的积 提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式， 　3g(x)-p(x)=14(x2-2x-5)与f(x)比较系数……，f(1)=4 一、内容提要 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么　式的整除的意义可以表示为： 　若f(x)＝p(x)×q(x)，　则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 　例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x +1）, ∴x2－3x－4能被（x－4）和（x +1）整除。 显然当　x=4或x=－1时x2－3x－4＝0， 一般地，若整式f(x)含有x –a的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。 在二次三项式中 若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab　　　则p=a+b,q=ab 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 二、例题 例1己知　x2－5x+m能被x－2整除，求m 的值。 x－3 解法一：列竖式做除法　　（如右）　　　　　　　x－2　x2－5x+m 　　由　余式m－6＝0　得m=6 　　　　　　　　　　 x2－2x　　　　 解法二：∵ x2－5x+m 含有x－2 的因式 －3x+m ∴ 以x=2代入 x2－5x+m 得 －3x+6 22－5×2 ＋m=0 得m=6 m－6 解法三：设x2－5x+m 除以x－2 的商是x+a　(a为待定系数)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 那么　x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝　x2+(a-2)x－2a　 根据左右两边同类项的系数相等，得 　　　解得　（本题解法叫待定系数法） 己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除 求：m、n 的值及商式　 　解：∵被除式＝除式×商式　（整除时余式为0） ∴商式可设为x2+ax+b　 得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b） ＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b　 根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得