函数的零点讲解.ppt

函数的零点 * * 函数的零点 在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 (－2，0)、(3，0)。 一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)。 零点的定义： 判别式? ?0 ??0 ?0 y=ax2+bx+c 的图象 ax2+bx+c=0 的根 x y x1 x2 0 x y 0 x1 x y 0 函数的零点 两个零点 x1 , x2 无零点 有两个相等的实数根x1 = x2 无实数根 两个不相等的实数根x1 、x2 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)的零点，以 所以： 二次函数零点的类型： （1）函数图象通过零点且穿过x轴， 函数的值变号，这类零点叫变号零点 （2）函数图象通过零点未穿过x轴， 函数的值变号，这类零点叫不变号零点 1、函数y=x2-5x+6的零点是（ ） A（3，0）,（2，0）； B x=2 ； C x=3 ； D 2和3． 即兴练习 D B 什么条件下才能确定零点的存在呢？ -1 5 -4 ② 在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？ ① 在区间[-2,1]上有零点______。 a 0 b c d y x x y 0 0 y x 0 y x 零点存在性定理： 那么 如果函数 的一条曲线，并且 f(a)·f(b)0， （a,b）内有零点，即存在 连续不断 c也就是方程 （1）两个前提条件缺一不可 （2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？ 至少有一个， 可以有多个。 那么 如果函数 的一条曲线，并且 f(a)·f(b)0，并且是单调函数， （a,b）内有且只有一个零点。 连续不断 x y 0 （3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？ x y 0 (4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f( a )·f( b )0的结论吗？ 反之不成立！ (5)定理的作用：判定零点的存在，并找出零点所在的区间。 解方程 定理法 例1. 求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出它的图象。 解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2) =(x－2)(x+1)(x－1). 所以函数的零点为－1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、(－1，1)、(1，2)、(2，+∞)。 在这四个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表： … 2.63 0 －0.63 0 1.13 2 1.88 0 －4.38 … y … 2.5 2 1.5 1 0.5 0 －0.5 －1 －1.5 … x 在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示。 例题2：在下列哪个区间内,函数f (x)= x3＋3x－5 一定有零点（ ） A、(－1,0） 　B、(0,1） C、(1,2） 　 D、(2,3） C 变式：已知函数f(x)的图象是连续不断的， 且有如下的x ,f(x)对应值表： –26 –12 –5 11 –7 9 23 f(x) 7 6 5 4 3 2 1 x 那么该函数在区间[1，6]上有（ ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定 B 例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（ ） （A） （B）k3或k4 （C）－1k1或3k4 （D）－2k－1或3k4 解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)，(1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足 ，即 ， 解得， 所以－2k－1或3k4，选D。 例4．已知m∈R，函数f(x)=m(x2－1)+x－a恒有零点，求实数a的取值范围。 解：（1）当m=0时，f(x)=x－a=0解得x=a恒有解，此时a∈R； （2）当m≠0时，∵ f(x)=0，即mx2+x－m－a=0恒有解，