分子模拟教程讲解.ppt

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分子模拟教程讲解

Monte Carlo方法的应用举例: 计算积分: 常用的积分方法求解: 将积分区域[a,b]均匀地划分成N各分区间,则积分结果可近似地表示成: Δx = (b-a)/N 简单的Monte Carlo积分方法求解: 利用均匀分布的随机数发生器,从[a,b]区间产生一系列随机数xi,i=1, 2, ..., N 其中 X为均匀分布,并且 X?[a,b] 近似求解E[g(X)]: 近似求解积分: 随机抽样 当我们用简单Monte Carlo计算积分时,若该函数为常数函数,g(x)=constant,则取样数不管多少,准确度为100%。 如果在积分区间内,g(x)为一平滑函数,则简单Monte Carlo方法较为准确,反之,如果g(x)的变动很剧烈,则简单Monte Carlo方法的误差会变大。 说明: 重要性Monte Carlo抽样方法 在 g(x) 变化剧烈时,如果以Monte Carlo方法取样,最好依据g(x)的大小来决定取样率。 当|g(x)|的值较大时,对∫g(x)dx的贡献也较大,如果没被选中,则结果的误差极大。 解决方式:改变 x被选中的机率,让|g(x)| 值较大的点被选中的机率增加。 采用权重分布函数(Weight distribution function) w(x) :决定每个x被选中的机率。 重要性抽样的定义:根据一定的分布形式进行的随机抽样。 w(x)必须归一化,即在积分区间内∫w(x)dx=1。 由于 x 的选取已被 w(x) 扭曲,所以计算积分时要把这部分[还]回去:若一共取样了N个x,则积分值为: 重要性Monte Carlo抽样方法 Metropolis Monte Carlo方法 我们所模拟的系统最终要达到的平衡分布是Boltzman分布: Boltzmann 概率分布函数: 我们如果能够产生这种分布,我们就能够计算系统的大多数性质,但这是不可能的,因为我们不知道Z的值,但是对于任意两个状态,我们有: 可以在相空间中构造一个马尔科夫链,使相空间中的样本点随着链的增长逐步趋近于Boltzman分布。 一个序列x0, x1, x2, …,xn,如果对任何n都有: 则此序列是一个Markov链。 要求: 任何一次实验的结果依赖于前一次的试验,并且近依赖于前一次的试验。 马尔科夫(Markov)链 可以证明:通过构造Markov链,体系中最终的平衡分布就是Boltzman分布 Metropolis平衡条件 (Detailed balance condition): 平衡条件: 系统处于状态X的概率正比于其Boltzman因子: 如果?是对称的: Metropolis Monte Carlo方法的算法: 给出一个初始状态,并计算系统的能量Eold 随机产生一个新状态,并计算新系统的能量Enew 如果ΔE=(Enew?Eold)0, 则接受新状态并回到 b) 如果ΔE=(Enew?Eold)0, 则计算Boltzman因子: 在(0, 1)区间上产生一个均匀分布的随机数? ; 如果 则接受新状态并回到b) 否则保留原值并回到b) 1. 正则系综蒙特卡罗模拟方法(Canonical MC Simulation) 具有确定的粒子数N、温度T和体积V 对于含N个粒子的系统,位型(构型)的配分函数: 某个特定构型的发生概率为 PNVT(rN) 1. 正则系综蒙特卡罗模拟方法(Canonical MC Simulation) Monte Carlo模拟中任一物理量的计算: 位型积分 概率密度 系统处于位型{rN}的概率密度 给出一个初始状态,并计算系统的能量Uold 随机产生一个新状态,并计算新系统的能量Unew 如果ΔU=(Unew?Uold)0, 则接受新状态并回到 b) 如果ΔU=(Unew?Uold)0, 则计算Boltzman因子: 在(0, 1)区间上产生一个均匀分布的随机数? ; 如果 则接受新状态并回到b) 否则保留原值并回到b) 正则系综MC模拟算法的组织: 正则系综MC模拟算法的流程图: 给定每个分子的初始位置,ri(0) 随机选取一个分子,并随机移动到新的位置 计算移动前后的系统能量变化ΔU 拒绝移动 ΔU?0 ? Exp(ΔU)?? (0,1)? 统计系统的热力学性质及其它物理量 统计性质不变? 打印结果,结束 Yes No No No 接受移动 Yes Yes 大约循环107到108次 Monte Carlo模拟中几个热力学量的计算: N个粒子系统中的总势能: 假设采用截断势能函数: Uc:截断范围内的总势能; Ulrc:截断半径外对势能的长程校正(Long-range correction) 对于LJ流体: 含N个粒子系统中的压力: Wc:截断范围内的总维里项(Viria

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