3.1-分岔重点.ppt

m1时走向不动点 A 当参数m1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次数 n 的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。 2 .平方映射的不动点 μ=1~3 时走向不动点B 当 μ1 时平方映射会出现第二个不动点。下图 m 值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。 2 .平方映射的不动点 μ2.3 时振荡走向不动点B 当 m 值增大到μ2.3 时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当m =2.8 时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。 μ2.3 时通过振荡走向不动点B 2 .平方映射的不动点 不动点的稳定性 非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。 上述计算可见，当μ3时迭代走向不动点，当μ3迭代值出现持续振荡，说明迭代在μ= 3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。 如一维映射 具有不动点，即有解 设 en 为对不动点的偏离量，需继续迭代，有： 对右边在 x* 附近展开： 2 .平方映射的不动点 不动点的稳定性 略去高阶小项，并利用不动点方程则得： 对于稳定的不动点， 应有： ，即 对于不稳定的不动点, 应有: ，即 2 .平方映射的不动点 不动点的稳定性 对于稳定的不动点，应有 , 即： 映射在不动点处斜率为 45° 迭代单调的趋近于 迭代经过几次起伏趋近于 超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于 2 .平方映射的不动点 不动点的稳定性 对于稳定的不动点，应有 ,即： 2 .平方映射的不动点 二周期解 当参数从μ=2.8 继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为μ= 3.2时迭代情况，取 x0=0.04，在迭代进行几次后，其终值在一大一小的两个定值之间跳跃，并与起始值无关，称为周期2 轨道运动。 3.平方映射的周期解 μ =3.2 时xn+1在一大一小两个值间跳跃 四周期解 μ值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。μ值增大到3.5 以上，迭代的终值起伏每隔四次出现重复，称为周期 4 轨道运动。图为μ =3.52 时的 xn+1～n 曲线，仍取x0=0.2为起始值。 μ=3.52 时，xn+1 出现4周期循环。 3.平方映射的周期解 倍周期解序列 计算表明，随 m 的增加，稳定的周期轨道还在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。 1.00 m 3.00 　周期1轨道(不动点) 3.00 m 3.4495 　周期2轨道 3.4495 m 3.5541 周期4轨道 3.5541 m 3.5644 周期8轨道 3.5644 m 3.5688 周期16轨道 3.平方映射的周期解 倍周期解序列 通常在确定的μ值下，迭代会进入一个周期 p的重复循环，即在次数 i≥n 后迭代有： 　　　　　 xn， xn+1， … ， xn+p-1 xn+p， xn+p+1， … ， xn+2p-1 重复相同的值，称为周期 p 轨道。如 P =1，称周期1轨道，为不动点；p = 2为周期2轨道，p = 4为周期4轨道。 迭代也会进入轨道点xi永不重复情况，即无周期状态。但若每迭代一定次数，轨道点虽没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，则这种情况称为准周期轨道。它可看作无限长周期轨道。 3.平方映射的周期解 编程序, 对逻辑斯蒂映射绘制以参数μ为横坐标、状态为纵坐标的分岔图. 1. 2 3 第二次作业 4 分析洛仑兹方程形成奇怪吸引子机理，并利用Matlab或maple画出相应的相图. 第三章 混沌 第一部分分岔与奇怪吸引子 一 简单数学分岔 引言 分岔概念 1 切分岔 2 转换键型分岔 3 叉式分岔 4 霍夫型分岔 弹性压杆的分岔 引言 分岔概念