最佳逼近[精选].ppt

最佳逼近 主讲 孟纯军博士 曲线拟合的最小二乘法（离散） 设一组观测数据为 其中xi≠xj(i≠j),我们要根据这一系列数据找出函数关系y=f(x)。 若用插值多项式函数P(x)代替函数关系f(x),要求满足插值原则 φ(xi)=f(xi), i=0,1,2,…,n 有可能给的条件个数n大于多项式P(x)的待定系数个数，如，10个插值条件求5次多项式，该问题是无解的。 有时我们所需的近似函数不一定是多项式。 在实际问题中,往往并不要求近似函数φ(x)所表示的曲线通过这些观测点,而只要求由已知数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)找出x,y之间的依赖关系,使得近似函数φ(x)能充分地反映函数y=f(x)的大致面目,也即与f(x)有最好的拟合(或逼近)。这就是曲线拟合问题。有的还称为配曲线或找经验公式。 因为曲线拟合问题并不要求满足插值原则 φ(xi)=yi, i=0,1,2,…,n 故在基点x0,x1,x2,…,xn上φ(x)与f(x)有误差 ri=φ(xi)-yi, i=0,1,2,…,n (4―69) 称ri为用φ(x)拟合f(x)的偏差。 设函数关系y=f(x)的一组观测数据为(xi,yi)(i=0,1,2,…,n),欲求一个m(m＜n)次多项式 Pm(x)=α0+α1x+…+αmxm (4―70) 这种方法称为多项式拟合数据。 偏差的平方和 称此方程组为正则方程组。通过它可求出α0,α1,…,αm。 下面对m=2的情形作具体讨论。也就是用二次函数 P2(x)=α0+α1x+α2x2 来拟合f(x),此时总偏差为 由(4―72)式知 从而得到正则方程组 解此方程组得α0,α1,α2的值,即可求得近似函数P2(x)。 一般地,对于Pm(x),可类似地得到m+1阶正则方程组 例8 设有一组数据表 9α0+53α1+381α2=76 53α0+381α1+3017α2=489 381α0+3017α1+25317α2=3547 解得 α0=-1.4597,α1=3.6053,α2=-0.2676 因此所求的二次多项式 P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2 给出的数据和二次多项式表示的曲线见图4.5。 最后必须指出,在实际问题中,近似函数φ(x)的选取只能凭经验得到。例 (1)加速度与时间的关系是线性关系,可选取 φ(x)=α0+α1x (2) 炮弹在空中的高度与时间的关系近似于抛物线,可选取 φ(x)=α0+α1x+α2x2 此外,当φ(x)不是多项式时,如 (1)幂函数 φ(x)=axb (2)指数函数 φ(x)=aebx (3)对数函数 φ(x)=a+blnx 例9求一个经验函数 φ(x)=aebx (a,b为常数) 使它能和下面给出的数据相拟合。 则 u=A+Bx 可算得 于是得到正则方程组 8A+36B=29.9787 36A+204B=147.1948 解得 A=11.36,B=0.2926 因此经验公式为 φ(x)=11.36e0.2926x