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函数的基本性质复习 教学目标： 函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性 教学过程 一、单调性 1．定义：对于函数，对于定义域内的自变量的任意两个值，当时，都有，那么就说函数在这个区间上是增（或减）函数。 2．证明方法和步骤： 设元：设是给定区间上任意两个值，且； 作差：； 变形：（如因式分解、配方等）； 定号：即； 根据定义下结论。 3．二次函数的单调性：对函数， 当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加； 当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小 例：讨论函数在(-2,2)内的单调性。 4．复合函数的单调性：复合函数在区间具有单调性的规律见下表： 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。 例：函数的单调减区间是 （ ） A. B. C. D. 5．函数的单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。 例1：奇函数在定义域上为减函数，且满足，求实数的取值范围。 例2：已知是定义在上的增函数，，且，， （1）求；（2）满足的实数的范围。 二、奇偶性 1．定义： 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫偶函数； 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫奇函数。 2．奇、偶函数的必要条件函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称函数为奇函数，且在x=0处有定义，则； 3．判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断或 是否恒成立。 例：判断函数 的奇偶性。 分析：解此题的步骤（1）求函数的定义域；（2）化简函数表达式；（3）判断函数的奇偶性 奇偶性的定义与关系时，常用以下等价形式： ； 。 当时，也可用来判断y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。 5．常用结论(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性是上的奇函数，且当时，，求当时的解析式。 例3：已知：函数定义在R上，对任意x，y∈R，有且。 (1)求证：；(2)求证：是偶函数； （2） （3） （4） 例5：设函数的定义域为，且对任意的都有。（1）求的值；（2）判断的奇偶性，并加以证明。 课后专练 1.已知函数在上递增，那么的取值范围是________. 2．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子成立的是（ ） A．f(－1)＜f(9)＜f(13)B．f(13)＜f(9)＜f(－1)C．f(9)＜f(－1)＜f(13) D．f(13)＜f(－1)＜f(9) 设是上的减函数，则的单调递减区间为 . 4．函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ． 0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是 ( ) A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 6．已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1,2a]，则a=__________ ,b=_________ 7．已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于 ( ) A. -26 B. -18 C. -10 D. 10 8．若函数f（x）为偶函数，且当-2≤x≤0时，f（x）=x+1，那么当0＜x≤2时，f（x）=_________. 9.已知在区间上是增函数，则的范围是（ ） A B C D 10.当时，求函数的最小值 11.已知在区间内有一最大值，求的值 12．已知f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．的定义域为R，对任意有=,当时且 (1)判断在R上的单调性； （2）若，求的取值范围。 - 1 -