(Pick公式.docVIP

谈求面积的 Pick 公式 蔡聪明 问题的起源 一维的特例：植树问题 推广到二维平面 Pick 定理的证明 Pick 定理的推广 其它的求面积公式 Pick 公式、Heron 公式与测量师公式，是数学里求面积的三个重要公式。本文我们着重在讨论其中的Pick公式 ，从问题出发到猜测、发现、检验与证明等的发展过程，内容浅白，高中生亦可研读。 好奇与实用是数学发展的动力，两者相辅相成，不可偏废。 古埃及人铺地板时，用同一种大小的正多边形，结果只能是正三角形、正方形与正六边形所铺成的三种样式（见图一、二及三）。 图一：用正三角形铺地板 图二：用正方形铺地板 图三：用正六边形铺地板 这媲美于正多面体恰好有五种，都是很令人惊奇的结果。为了追究背后的原因，他们发现了「三角形三内角和为一平角(即)定理」，由此证明出铺地板恰有三种样式，从而对经验事实求得解释(explanation)。 进一步，在正方形样式的地板上 [即平面正方形格子网或几何板 (geoboard)]，古埃及人又从中玩索出勾股定理(见图四)，以及其它许多几何定理。在验证勾股定理时，涉及了需计算以格子点为顶点的正方形之面积。 另一方面，基于实际应用，如农夫在田地上插秧或种植果树(假设种在正方形的格子点上)。显然，田地越广，所种的棵数就越多，反之亦然。因此，土地的面积与棵数具有密切的关系，但这个关系是什么呢？ 图四：勾股定理 不论是起于好奇或实用，都引出了下面一个有趣的数学问题： 问题：平面上以格子点为顶点的多边形，其面积公式是什么呢？如何探寻它？（见图五） 图五：以格子点为顶点的任一多边形 本文我们就来探讨这个问题。它从发现到证明的过程，都富有思考方法的启发性，值得追寻。 一维的特例：植树问题 我们选择一维的特例来思考，此时不过是简单的植树问题。例如：在图六的线段上每隔单位距离种一棵树（即在格子点上种树），两端皆种，问线段有多长？ 图六：一维的植树问题 我们观察到格子点可分成内点 (interior points) 与边界点 (boundary points) 两类。假设内点与边界点的个数分别为 i 与 b（事实上 b=2）。显然线段之长 L 为： L = (1) ? = i+1 (2) ? = b+i-1 (3)  我们也可以这样想：如果在相邻两格子之中点加以分割，得到许多小段，那么每一个内点所在的小段皆具有单位长度，而每一个边界所在的小段只有 单位长度，见图七。换言之，一个内点贡献一个单位长度，而一个边界点只贡献 个单位长度。因此，线段的长度为： 图七：线段长之计算 推广到二维平面(1)～(4)的公式中，只有(3)与(4)两式比较有可能。因此，我们初步猜测多边形的面积 A 为：  或者  其中 b 与 i 分别表示在多边形中，边界点与内点之格子点个数。 接着是用一些例子对猜测作试验。因为多边形有无穷多种，所以即使试验再多的例子都成立，这都不能代表已证明出我们的猜测，但是只要有一个例子违背（称之为反例），就否定掉猜测。举例而言，「凡是天鹅都是白色的」，我们观察过再多的白色天鹅都无法得到证明，但是只要出现一只黑天鹅就否定掉这句话了。这种证明和否证的不对称性值得注意。 图八 图九 图十 现在，我们试验图八、九与十等三个例子，列表如下： (I)b (II)i (III)b+i-1 (IV) (V) 10 2 11 7 6 17 5 21 13 12 9 7 16 11 10 比较(III)与(V)行，(IV)与(V)行,我们发现公式(5)与(6)都不对。该如何修正呢? 我们进一步观察到(IV)与(V)两行有规律，即相差1，所以我们将(6)式修正为  这个面积公式就「适配」(fit) 上述图八至图十的三个例子。 我们也可以从另一个角度来观察(7)式。仿照一维植树问题的情形，考虑图十一之长方形。我们发现，一个内点贡献面积1，而边界点分成两种情形： (i)在侧边上的点，每一点贡献面积 ； (ii)四个顶点，每一点贡献面积 。 因此，如果每一个边界点都看成是贡献面积 ，则整个合起来就多算了一个单位面积，必须扣掉。换言之，(7)式是一个合理的猜测。 图十一 再对(7)式作试验，例如考虑图十二、十三与十四，容易求得它们的正确面积分别为、13与。另一方面，按公式(7)来计算，分别得到、13与13。因此，对于图十二与十三而言，(7)式成立；但是对于图十四，(7)式就不成立了。我们发现图十四比较特别，有两个边交叉了，这并不是通常所谓的多边