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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1））若函数在处连续，则（ ） (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】在处连续选A. （2）设二阶可导函数满足且，则（ ） 为偶函数时满足题设条件，此时，排除C,D. 取满足条件，则，选B. （3）设数列收敛，则（ ） 当时， 当时， 当时， 当时， 【答案】 【解析】，有，A错； 取，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为 （A） （C） （D） 【答案】 【解析】 故特解为：选C. （5）具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】是关于的单调递增函数，是关于的单调递减函数， 所以有，故答案选D. （6）（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则 ，当时满足，故选C. （7）为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 【解析】, 因此B正确。 （8）,则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】由可知A的特征值为2,2,1 因为，A可相似对角化， 由可知B特征值为2,2,1. 因为，B不可相似对角化，但B不相似于C. 二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 曲线的斜渐近线方程为_______ 【解析】 (10) 设函数由参数方程确定，则______ 【解析】 (11) _______ 【答案】 【解析】 (12) 设函数具有一阶连续偏导数，且，，则 【解析】故 ， 因此，即，再由，可得 【答案】 【解析】 （13） 【答案】 【解析】. （14）设矩阵的一个特征向量为，则 【答案】 【解析】，由题设知，故 故. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限 【解析】，令，则有 （16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，，求 【答案】 【解析】 结论： （17）（本题满分10分）求 【解析】 （18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值 ，极小值为 【解析】 两边求导得： （1） 令得 对（1）式两边关于x求导得 （2） 将代入原题给的等式中，得， 将代入（2）得 将代入（2）得 故为极大值点，；为极小值点， （19）（本题满分10分）在区间上具有2阶导数，且，证明： 方程在区间内至少存在一个实根； 方程在区间内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 （I）二阶导数， 解：1）由于，根据极限的保号性得 有，即 进而 又由于二阶可导，所以在上必连续 那么在上连续，由根据零点定理得： 至少存在一点，使，即得证 ，，令，则 由罗尔定理，则， 对在分别使用罗尔定理： 且，使得，即 在至少有两个不同实根。 得证。 （20）（本题满分11分）计算二重积分。 【答案】 【解析】 （21）（本题满分11分）是区间内的可导函数，且，点是曲线L: 上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点，法线与x轴相交于点，若，求L上点的坐标满足的方程。 【答案】 【解析】的切线为，令得，法线,令得。由得，即。令，则，按照齐次微分方程的解法不难解出, （22）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。 证明： 若，求方程组的通解。 【解析】 （I）证明：由可得，即线性相关， 因此，，即A的特征值必有0。 又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0. 且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 （II）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量， 由可得，则的基础解系为， 又，即，则的一个特解为， 综上，的通解为 （23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一个正交矩阵. 【解析】 ，其中 由于经正交变换后，得到的标准形为， 故， 将代入，满足，因此符合题意，此时，则 ， 由，可得A的属于特征值-3的特征向量为； 由，可得A的属于特征值6的特征向量为 由