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大学物理学（下册）习题解答 湖南大学物理与微电子科学学院 周群益 第十三章 静电场中的导体和电介质 P70． 13．1 一带电量为q，半径为rA的金属球A，与一原先不带电、内外半径分别为rB和rC的金属球壳B同心放置，如图所示，则图中P点的电场强度如何？若用导线将A和B连接起来，则A球的电势为多少？（设无穷远处电势为零） [解答]过P点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q．根据高斯定理可得 E4πr2 = q/ε0， 可得P点的电场强度为 ． 当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时，外侧将出现同种电荷q．用导线将A和B连接起来后，正负电荷将中和．A球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是rC，所以A球的电势为 ． 13．2 同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l，半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？ [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r、长为l的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通量等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl． 设高斯面的侧面为S0，上下两底面分别为S1和S2．通过高斯面的电位移通量为 ， 可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外． 电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外． 13．3 金属球壳原来带有电量Q，壳内外半径分别为a、b，壳内距球心为r处有一点电荷q，求球心O的电势为多少？ [解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布，距离球心都为a．外壳上就有电荷q+Q，距离球为b．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为 13．cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，忽略边缘效应．求 （1）B、C板上的电荷为多少？ （2）A板电势为多少？ [解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为σσ2，q1 = σ1S和q2 = σ2S， 在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程 q = q1 + q2 = σ1S + σ2S． ① A、B间的场强为 E1 = σ1/ε0， A、C间的场强为 E2 = σ2/ε0． 设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则 ΔU = E1d1 = E2d2， ② 即 σ1d1 = σ2d2． ③ 解联立方程①和③得 σ1 = qd2/S(d1 + d2)，q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)； q2 = q - q1 = 1×10-8(C)． B、C板上的电荷分别为 qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为 ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于k = 9×109 = 1/4πε0，所以ε0 = 10-9/36π，因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B板和C板的电势为零，所以 UA = ΔU = 452.4(V)． 13．5 一无限大均匀带电平面A，带电量为q，在它的附近放一块与A平行的金属导体板B，板B有一定的厚度，如图所示．则在板B的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？ [解答]由于板B原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得 q1 + q2 = 0． ① 虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S，则面电荷密度分别为 σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S， 它们产生的场强大小分别为 E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0． 在B板内部任取一点P，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得 E1 - E2 – E = 0， 即 　 σ1 - σ2 – σ = 0， 或者说 　 q1 - q