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中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【考纲要求】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题； 4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题1.原命题与逆命题 2.勾股定理的逆定理 ，满足，那么这个三角形是直角三角形. 【要点诠释】 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状； ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等③用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用 ．【】如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（　　）A.14 B.16 C.20 D.28 2．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2则BD的长为（　　） A. B. C. D. 【】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形从而求解．（2011四川广安）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝ 6cm，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ） A．（）cm B．5cm C．cm D．7cm 类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是． 【】本题考查了扇形的面积公式：．也考查了勾股定理以及旋转的性质．考扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质4. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．（2011台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．65．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，有DC2＝AE2＋BC2． 【】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE，AE的长度是解决问题的关键．6 . 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． 【】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样