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中考总复习：勾股定理及其逆定理（提高） 【考纲要求】 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法； 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容； 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题； 4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系． 【知识网络】 【考点梳理】 知识点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即：）. 【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题1.原命题与逆命题 2.勾股定理的逆定理 ，满足，那么这个三角形是直角三角形. 【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边　③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等③用含字母的代数式表示组勾股数： （为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数）能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理 1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是． 【思路点拨】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【答案】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S1=（CG+DG） 2=CG 2+DG 2+2CG?DG，=GF 2+2CG?DG，S2=GF 2，S3=（NG-NF） 2=NG 2+NF 2-2NG?NF，∵S1+S2+S3=10=GF 2+2CG?DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG?NF，=3GF 2，∴S2．【】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3=10=GF 2+2CG?DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG?NF=3GF 2是解决问题的关键．＋b＋c＋338=10a+24b+26c，△ABC是直角三角形吗？ 为什么？ 【答案】＋b＋c＋338=10a+24b+26c ∴a＋b＋c＋338－10a－24b－26c =0 （a－10a+25）＋（b－24b+144）＋（c－26c+169）=0 即 ∵ ∴a=5，b=12，c=13 又∵a＋b=c=169， ∴△ABC是直角三角形. 2．，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积． 【思路点拨】此题涉及到的知识点有勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形． 【答案】 过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD×2×（3+）+×1×（3+）=． 【】 【