【2017年整理】步步高理科数学1.2.docVIP

§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件 1．命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及相互关系 3．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件 (1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果pq，qp，则p是q的充要条件． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－30”是命题．(　×　) (2)“sin 45°＝1”是真命题．(　×　) (3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°.(　×　) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(　√　) (5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(　×　) (6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝π”．(　√　) 2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(　　) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 答案　D 解析　命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D. 3．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　) A．若α≠，则tan α≠1B．若α＝，则tan α≠1 C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝ 答案　C 解析　命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”，故选C. 4．(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“AB”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　a＝3时A＝{1,3}，显然AB. 但AB时，a＝2或3.所以A正确． 5．(2012·天津)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由条件推结论和结论推条件后再判断． 若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数， 但是若f(x)＝cos(x＋φ) (x∈R)是偶函数， 则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件． 题型一　四种命题及真假判断 例1　(1)下面是关于复数z＝的四个命题： p1：|z|＝2， p2：z2＝2i， p3：z的共轭复数为1＋i， p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为(　　) A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4 (2)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　) A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m1”是真命题 B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C．逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D．逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 思维启迪　(1)可化简复数z，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真． 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)z＝＝＝－1－i， 所以|z|＝，p1为假命题；z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，p2为真命题，＝－1＋i，p3为假命题；p4为真命题．故选C. (2)命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 思维升华　(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例． 　(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是(　　) A．若α＝，则cos α≠ B．若α≠，则cos α≠ C．若cos α＝，则α＝ D．若cos α≠，则α≠ (2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数