【2017年整理】步步高理科数学10.1.docVIP

§10.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　×　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　√　) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(　√　) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(　√　) 2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种． 答案　32 解析　每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)． 3．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________． 答案　12 解析　由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法． 4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有________种． 答案　24 解析　分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)． 5．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 答案　14 解析　数字2,3至少都出现一次，包括以下情况： “2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C＝4(个)四位数． “2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C＝6(个)四位数． “2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C＝4(个)四位数． 综上所述，共可组成14个这样的四位数. 题型一　分类加法计数原理的应用 例1　高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人． (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 思维启迪　用分类加法计数原理． 解　(1)完成这件事有三类方法 第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法， 根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法． (2)完成这件事有三类方法 第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法． 综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法． 思维升华　分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． 　(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ (2)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？ 解　(1)分析个位数字，可分以下几类： 个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个； 同理，个位是