【2017年整理】步步高理科数学13.2.docVIP

§13.2　复　数 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作__|z|__或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi平面向量(a，b∈R)． 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝ ＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　) (4)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　) 2．(2012·北京)设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　当a＝0，且b＝0时，a＋bi不是纯虚数；若a＋bi是纯虚数，则a＝0. 故“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件． 3．(2013·陕西)设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　) A．若z2≥0，则z是实数 B．若z20，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z20 答案　C 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得即或.所以a＝0时b＝0，b＝0时a∈R.故z是实数，所以A为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z20时，z一定是虚数，故B为真命题；由于i2＝－10，故C为假命题，D为真命题． 4．(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是(　　) A．A B．B C．C D．D 答案　B 解析　表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示.选B. 5．(2013·广东)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　D 解析　由题意知x＋yi＝＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5. 题型一　复数的概念 例1　(1)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为(　　) A．1 B．i C. D．0 (2)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 思维启迪　(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则b＝0时，z∈R；b≠0时，z是虚数；a＝0且b≠0时，z是纯虚数． (2)直接根据复数相等的条件求解． 答案　(1)A　(2)A 解析　(1)由＝＝＝＋i是纯虚数，得a＝1，此时＝i，其虚部为1. (2)由，解得m＝－2或m＝1， 所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件． 思维升华　处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理． 　(1)(2013·安徽)设i是虚数单位．若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)(2012·江西)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　) A．0 B．－1 C．