【2017年整理】步步高理科数学2.1.docVIP

§2.1　函数及其表示 1．函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2．映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 3．函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax (a0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝tan x的定义域为. (6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(　×　) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　) (3)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x3}，则函数f(2x－1)的定义域为{x|1≤x5}．(　×　) (4)f(x)＝， 则f(－x)＝.(　√　) (5)函数f(x)＝＋1的值域是{y|y≥1}．(　×　) (6)函数是特殊的映射．(　√　) 2．(2013·江西)函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 答案　B 解析　由得，函数定义域为[0,1)． 3．(2012·安徽)下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 答案　C 解析　将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等． 对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)； 对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)； 对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)； 对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)， 故只有C不满足f(2x)＝2f(x)，所以选C. 4．(2012·福建)设f(x)＝ g(x)＝则f(g(π))的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．π 答案　B 解析　根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0， ∴f(g(π))＝f(0)＝0. 5．给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x (x∈N)的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中正确命题的序号有________． 答案　①② 解析　对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y＝2x (x∈N)的图象不是一条直线； 对于④由于函数的关系可以用列表的方法表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合. 题型一　函数的概念 例1　有以下判断： ①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数； ②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； ③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； ④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0. 其中正确判断的序号是________． 思维启迪　可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 答案　②③ 解析　对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③. 思维升华　函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果