【2017年整理】步步高理科数学2.2.docVIP

§2.2　函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M ；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 结论 M为最大值 M为最小值 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　×　) (2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在D上是增函数．(　√　) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　×　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　×　) (5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．(　×　) (6)函数y＝的最大值为1.(　√　) 2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是(　　) A．递减函数 B．递增函数 C．先递减再递增 D．先递增再递减 答案　C 解析　作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增． 3．(2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示； 当a0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示． 所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0. 即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件． 4．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________． 答案　，1 解析　f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1. 5．函数y＝log(2x2－3x＋1)的单调减区间为________． 答案　(1，＋∞) 解析　由2x2－3x＋10， 得函数的定义域为(－∞，)∪(1，＋∞)． 令t＝2x2－3x＋1，则y＝logt， ∵t＝2x2－3x＋1＝2(x－)2－， ∴t＝2x2－3x＋1的单调增区间为(1，＋∞)． 又y＝logt在(1，＋∞)上是减函数， ∴函数y＝log (2x2－3x＋1)的单调减区间为(1，＋∞). 题型一　函数单调性的判断 例1　讨论函数f(x)＝(a0)在x∈(－1,1)上的单调性． 思维启迪　可根据定义，先设－1x1x21，然后作差、变形、定号、判断． 解　设－1x1x21， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝＝. ∵－1x1x21， ∴x2－x10，x1x2＋10，(x－1)(x－1)0. 又∵a0，∴f(x1)－f(x2)0， ∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 思维升华　利用定义法证明或判断函数单调性的步骤： 　(1)已知a0，函数f(x)＝x＋ (x0)，证明：函数f(x)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数； (2)求函数y＝的单调区间． (1)证明　设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1x2－a)． 当0x1x2≤时，0x1x2a，又x1－x20， 所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 所以函数f(x)在(0，]上是减函数； 当≤x1x2时，