【2017年整理】步步高理科数学2.3.docVIP

§2.3　函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(　×　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　) (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(　√　) (4)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝2.(　√　) (5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数．(　√　) (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0.(　√　) 2．(2013·山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 答案　A 解析　f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　B 解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴a＝，则a＋b＝. 4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 015)等于(　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 答案　A 解析　∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数， ∴f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 015)＝－2. 5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是________． 答案　(－1,0)∪(1，＋∞)解析　画草图，由f(x)为奇函数知：f(x)0的x的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞). 题型一　判断函数的奇偶性 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝(x＋1) ； (3)f(x)＝. 思维启迪　确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． 解　(1)由，得x＝±3. ∴f(x)的定义域为{－3,3}，关于原点对称． 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0. 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． (2)由，得－1x≤1. ∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)由，得－2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)(0,2]，关于原点对称． ∴f(x)＝＝. ∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数． 思维升华　(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝. 解　(1)由，得定义域为(－1,0)∪(0,1)， f(x)＝＝－. ∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数． 题型二　函数周期性的应用 例2　(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)等于(　　) A．335 B．336 C．1 678 D．2 012