【2017年整理】步步高理科数学2.8.docVIP

§2.8　函数与方程 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象与零点的关系 3.二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ⅱ)若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④. 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.(　×　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．(　√　) (4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　×　) (5)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个．(　√　) (6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1k－.(　×　) 2．(2013·天津)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　当0x1时，f(x)＝2xlog0.5x－1，令f(x)＝0，则log0.5x＝x 由y＝log0.5x，y＝x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点． 当x1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1， 令f(x)＝0得log2x＝x， 由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故选B. 3．(2013·重庆)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 答案　A 解析　由于abc，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋00，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0.因此有f(a)·f(b)0，f(b)·f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 4．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　) A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，) 答案　C 解析　∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋40. ∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数． ∵f(－)＝e－40，f(0)＝e0＋4×0－3＝－20， f()＝e－20，f()＝e－10， ∴f()·f()0. 5．已知函数f(x)＝ln x－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为________． 答案　3 解析　由题意知，当x1时，f(x)单调递减，因为f(3)＝ln 3－10，f(4)＝ln 4－20，所以该函数的零点在区间(3,4)内，所以k＝3. 题型一　函数零点的判断和求解 例1　(1)(2012·湖北)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 (2)设函数f(x)＝x2＋(x≠0)．当a1时，方程f(x)＝f(a)的实根个数为________． 思维启迪　(1)函数零点的确定问题； (2)f(x)＝f(a)的实根个数转化为函数g(x)＝f(x)－f(a)的零点个数． 答案　(1)C　(2)3 解析