【2017年整理】步步高理科数学3.2.docVIP

§3.2　导数与函数的单调性、极值、最值 1．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x)0是f(x)为增函数的充要条件．(　×　) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　×　) (3)函数的极大值不一定比极小值大．(　√　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　×　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　√　) (6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点．(　√　) 2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是(　　) A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1) 答案　A 解析　∵f′(x)＝2x－＝(x0)． ∴当x∈(0,1)时，f′(x)0，f(x)为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数． 3．(2013·浙江)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值 答案　C 解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0. ∴x＝1不是f(x)的极值点． 当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2) 显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)0， x在1的右边附近f′(x)0， ∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C. 4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)2，则f(x)2x＋4的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 答案　B 解析　设m(x)＝f(x)－(2x＋4)， ∵m′(x)＝f′(x)－20， ∴m(x)在R上是增函数． ∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0， ∴m(x)0的解集为{x|x－1}， 即f(x)2x＋4的解集为(－1，＋∞)． 5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 答案　[－3，＋∞) 解析　f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数， 则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3. 题型一　利用导数研究函数的单调性 例1　已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由． 思维启迪　函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解　f′(x)＝ex－a， (1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0， 即f(x)在R上单调递增， 若a0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a. 因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R， 当a0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞)． (2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2x3，∴e－2exe3，只需a≥e3. 当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈