【2017年整理】步步高理科数学3.3.docVIP

§3.3　导数的综合应用 1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题． (2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)连续函数在闭区间上必有最值．(　√　) (2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(　√　) (3)函数f(x)＝＋x－1和g(x)＝－x－1都是在x＝0时取得最小值－1.(　×　) (4)函数f(x)＝x2ln x没有最值．(　×　) (5)已知x∈(0，)，则sin xx.(　×　) (6)若a2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．(　×　) 2．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　) A．x∈R，f(x)≤f(x0) B．－x0是f(－x)的极小值点 C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点 答案　D 解析　A错，因为极大值未必是最大值．B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点．C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点．D对，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点． 3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值， h′(x)＝2x－＝， 显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点， 也是最小值点，故t＝. 4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________． 答案　(－2,2) 解析　由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)0，即(a＋2)(a－2)0，故a∈(－2,2)． 5．若f(x)＝，0abe，则f(a)、f(b)的大小关系为________． 答案　f(a)f(b) 解析　f′(x)＝， 当x∈(0，e)时，0，即f′(x)0， ∴f(x)在(0，e)上为增函数， 又∵0abe，∴f(a)f(b)． 题型一　利用导数证明不等式 例1　已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2ln x＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x0)． 思维启迪　(1)设公共点为(x0，y0)，则f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)可得a，b的关系； (2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)的最值． (1)解　设两曲线的公共点为(x0，y0)， f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝， 由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 即 由x0＋2a＝，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)． 即有b＝a2＋2a2－3a2ln a＝a2－3a2ln a. 令h(t)＝t2－3t2ln t(t0)，则h′(t)＝2t(1－3ln t)． 于是当t(1－3ln t)0，即0te时，h′(t)0； 当t(1－3ln t)0，即te时，h′(t)0. 故h(t)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)上为减函数， 于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e)＝e， 即b的最大值为e. (2)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋2ax－3a2ln x－b(x0)， 则F′(x)＝x＋2a－＝(x0)． 故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数． 于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0. 故当x0时，有f(x)－g(x)≥0， 即当x0时，f(x)≥g(x)． 思维升华　利用导数证明不等式的步骤 (1)构造新函数，并求其单调区间； (2)判断区间端点函数值与0的关系； (3)判断定义域内函数值与0的