【2017年整理】步步高理科数学4.1.docVIP

§4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝°. (3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2. 3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － 4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T. 三角函数线 　(Ⅰ)　　　　　(Ⅱ) 　(Ⅲ)　　　　　(Ⅳ)有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　×　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　×　) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　√　) (4)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．(　√　) (5)α∈(0，)，则tan ααsin α.(　√　) (6)α为第一象限角，则sin α＋cos α1.(　√　) 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45° (k∈Z) B．k·360°＋π (k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z) 答案　C 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确． 3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　) A．1 B．4C．1或4 D．2或4 答案　C 解析　设此扇形的半径为r，弧长为l， 则解得或 从而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________. 答案　－8 解析　因为sin θ＝＝－， 所以y0，且y2＝64，所以y＝－8. 5．函数y＝的定义域为________． 答案　(k∈Z)解析　∵2cos x－1≥0， ∴cos x≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x∈(k∈Z). 题型一　角及其表示 例1　(1)终边在直线y＝x上的角的集合是________． (2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________． 思维启迪　(1)利用终边相同的角的集合进行表示，注意对结果进行合并； (2)根据α的范围求2α的范围，再确定终边位置． 答案　(1){α|α＝kπ＋，k∈Z} (2)第一、二象限或y轴的非负半轴上 解析　(1)∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是， ∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}． (2)∵2kπ＋πα2kπ＋π，k∈Z， ∴4kπ＋2π2α4kπ＋3π，k∈Z. ∴角2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上． 思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． (2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限． 　(1)在直角坐标平面内，对于始边为x轴非负半轴的角，下列命题中正确的是(　　) A．第一象限中的角一定是锐角 B．终边相同的角必相等 C．相等的角终边一定相同 D．不相等的角终边一定不同 (2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________. 答案　(1)C　(2)－675°或－315° 解析　(1)第一象限角是满足2k