【2017年整理】步步高理科数学4.2.docVIP

§4.2　同角三角函数基本关系及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 2．下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α 图示 与角α 终边的 关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 角 π－α －α ＋α 图示 与角α 终边的 关系 关于y轴 对称 关于直线y＝x 对称 3.六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　×　) (3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　×　) (4)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈[，π]，则m－5或m≥3.(　×　) (5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则tan θ的值为－或－.(　×　) (6)已知tan α＝－，则的值是－.(　√　) 2．已知sin(π－α)＝log8，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为(　　) A．－ B. C．± D. 答案　B 解析　sin(π－α)＝sin α＝log8＝－， 又α∈(－，0)， 得cos α＝＝， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝. 3．若tan α＝2，则的值为________． 答案　 解析　原式＝＝. 4．已知cos＝，则sin＝________. 答案　－ 解析　sin＝sin ＝－sin＝－cos＝－. 5．已知函数f(x)＝则f[f(2 015)]＝________. 答案　－1 解析　∵f[f(2 015)]＝f(2 015－15)＝f(2 000)， ∴f(2 000)＝2cos＝2cos π＝－1. 题型一　同角三角函数关系式的应用 例1　(1)已知cos(π＋x)＝，x∈(π，2π)，则tan x＝________. (2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 思维启迪　(1)应用平方关系求出sin x，可得tan x； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求． 答案　(1)　(2)D 解析　(1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝，∴cos x＝－. 又x∈(π，2π)， ∴sin x＝－＝－＝－， ∴tan x＝＝. (2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝ ＝＝＝＝. 思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 　(1)已知＝－，那么的值是(　　) A. B．－ C．2 D．－2 (2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案　(1)A　(2) 解析　(1)由于·＝＝－1， 故＝. (2)sin θcos θ＝ ＝＝＝. 题型二　诱导公式的应用 例2　(1)已知cos＝，求cos的值； (2)已知πα2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 思维启迪　(1)将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系． (2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值． 解　(1)∵＋＝π， ∴－α＝π－. ∴cos＝cos ＝－cos＝－， 即cos＝－. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝. ∴sin(3π＋α)·tan ＝sin(π＋α)· ＝sin α·tan ＝sin α· ＝sin α·＝cos α＝. 思维升华　熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧． 　(1)已知sin＝，则cos的值为___