【2017年整理】步步高理科数学4.3.docVIP

§4.3　两角和与差的正弦、余弦、正切 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(Sα＋β) tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)　(Tα－β) tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)　(Tα＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α). 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tan?α＋β?)＝eq \f(tan α－tan β,tan?α－β?)－1. 4． 函数f(x)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)(其中tan φ＝eq \f(b,a))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cos(α－φ)(其中tan φ＝eq \f(a,b))． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　√　) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　√　) (3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定． (　×　) (4)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立． (　×　) (5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α. (　√　) (6)当α＋β＝eq \f(π,4)时，(1＋tan α)(1＋tan β)＝2. (　√　) 2． (2013·浙江)已知α∈R，sin α＋2cos α＝eq \f(\r(10),2)，则tan 2α等于 (　　) A.eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(4,3) 答案　C 解析　∵sin α＋2cos α＝eq \f(\r(10),2)， ∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝eq \f(5,2). 化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝eq \f(sin 2α,cos 2α)＝－eq \f(3,4).故选C. 3． (2012·江西)若eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝eq \f(1,2)，则tan 2α等于 (　　) A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3) 答案　B 解析　由eq \f(sin α＋cos α,sin α－cos α)＝eq \f(1,2)，等式左边分子、分母同除cos α得，eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(1,2)，解得tan α＝－3，则tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(3,4). 4． (2012·江苏)设α为锐角，若coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值为________． 答案　eq \f(17\r(2),50) 解析　∵α为锐角且coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)， ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5). ∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\