【2017年整理】步步高理科数学5.1.docVIP

§5.1　平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　×　) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　) (3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.(　×　) (4)△ABC中，D是BC中点，则＝(＋)．(　√　) (5)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　) (6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　) 2．(2012·四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|答案　C 解析　表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有＝，观察选项易知C满足题意． 3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 答案　A 解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝. 4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________． 答案　－2解析　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2. 5．设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________． 答案　－1 解析　∵＝＋＝2a－b，又A、B、D三点共线， ∴存在实数λ，使＝λ.即，∴p＝－1. 题型一　平面向量的概念辨析 例1　给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是________． 思维启迪　正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键． 答案　②③ 解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件． ③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b＝c， ∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③. 思维升华　(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈． (4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量． 　给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零． ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析