【2017年整理】步步高理科数学5.2.docVIP

§5.2　平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥bx1y2－x2y1＝0. 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　) (2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　×　) (3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　√　) (5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　) (6)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，则θ等于45°.(　×　) 2．已知点A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为(　　) A．(，－)或(－，) B．(，－) C．(－，)或(，－) D．(－，) 答案　C 解析　因为点A(6,2)，B(1,14)，所以＝(－5,12)，||＝13， 与共线的单位向量为±＝±(－5,12) ＝±(－，)． 3．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设＝ λ＋(λ∈R)，则λ的值为(　　) A．1 B. C. D. 答案　D 解析　过C作CE⊥x轴于点E(图略)． 由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2， 所以＝＋＝λ＋， 即＝λ， 所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝. 4．在ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则向量的坐标为__________． 答案　(－3，－5) 解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)， ∴＝－＝－＝(－3，－5)． 5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________. 答案　 解析　∵＝＋， ∴－＝－＋＝(－)，∴＝，∴＝. 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，试求t的值． 思维启迪　根据题意可选择，为一组基底，将，线性表示出来，通过＝t建立关于t的方程组，从而求出t的值． 解　∵＝＋， ∴3＝2＋， 即2－2＝－， ∴2＝， 即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示． ∵A，M，Q三点共线， ∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)， 而＝－，∴＝＋(－1). 又＝－＝－， 由已知＝t可得， ＋(－1)＝t(－)， ∴，解得t＝. 思维升华　平面向量基本定理表明，平面内的任意一个向量都可用一组基底唯一表示，题中将同一向量用同一组基底的两种形式表示出来，因此根据表示的“唯一性”可建立方程组求解． 　如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 答案　 解析　设||＝y，||＝x， 则＝＋＝－，① ＝＋＝＋，② ①×y＋②×x得＝＋， 令＝，得y＝x，代入得m＝. 题型二　平面向量的坐标运算 例2　已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)， (1)求＋2－3； (2)设＝3，＝－2，求及M、N点的坐标． 思维启迪　(1)直接计算、、的坐标，然后运算； (2)根据向量的坐标相等列方程求点M，N的坐标． 解　(1)∵A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)， ∴＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)， ＝(－2－2,3－1)＝(－4,2)， ＝(3－2,2－1)＝(1,1)， ∴＋2－3＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1) ＝(－3－8－3,5＋4－3)＝(－14,6)． (2)∵＝3，＝－2， ∴＝－＝－2－3＝－2＋3， 由A、B、C、D点坐标可得＝(3,2)－(1，－2)＝(2,4)． ∴＝－2(1,1)＋3(2,4)＝(4,10)． 设M(xM，yM)，N(xN，yN)． 又＝3，∴－＝3(－)， ∴(xM，yM)－(