【2017年整理】步步高理科数学6.2.docVIP

§6.2　等差数列及其前n项和 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3.等差中项 如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d. 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列Sn＝An2＋Bn(A、B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最__大__值；若a10，d0，则Sn存在最__小__值. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　×　) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　√　) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　×　) (5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列.(　×　) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(　√　) 2.设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1等于(　　) A.18B.20 C.22 D.24 答案　B 解析　因为S10＝S11，所以a11＝0. 又因为a11＝a1＋10d，所以a1＝20. 3.(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(　　) A.58B.88 C.143 D.176 答案　B 解析　S11＝＝＝88. 4.(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于(　　) A.3B.4 C.5 D.6 答案　C 解析　am＝2，am＋1＝3，故d＝1， 因为Sm＝0，故ma1＋d＝0， 故a1＝－， 因为am＋am＋1＝5， 故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d ＝－(m－1)＋2m－1＝5， 即m＝5. 5.(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________. 答案　－49 解析　由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝. 两式相减得a15－a10＝＝5d， ∴d＝，a1＝－3. ∴nSn＝n·＝＝f(n)， 令f(x)＝，x0， f′(x)＝x(3x－20). 令f′(x)＝0得x＝0(舍)或x＝. 当x时，f(x)是单调递增的； 当0x时，f(x)是单调递减的. 故当n＝7时，f(n)取最小值，f(n)min＝－49. ∴nSn的最小值为－49. 题型一　等差数列的基本运算 例1　在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值. 思维启迪　等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 思维升华　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法. 　(1)若等差数列{an}的前5