【2017年整理】步步高理科数学6.3.docVIP

§6.3　等比数列及其前n项和 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1. 3.等比中项 若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N*). (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列. 5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝＝. 6.等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列.(　×　) (2)G为a，b的等比中项G2＝ab.(　×　) (3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列.(　×　) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列.(　×　) (5)若{an}是等比数列，则S1·S2·…·Sk＝0(k≥2，k∈N)的充要条件是an＋an＋1＝0.(　√　) (6)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则Y(Y－X)＝X(Z－X)恒成立.(　√　) 2.(2013·江西)等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　) A.－24B.0 C.12 D.24 答案　A 解析　由x,3x＋3,6x＋6成等比数列得，(3x＋3)2＝x(6x＋6). 解得x1＝－3或x2＝－1(不合题意，舍去). 故数列的第四项为－24. 3.(2012·课标全国)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于(　　) A.7B.5 C.－5D.－7 答案　D 解析　方法一　由题意得 ∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 方法二　由解得或 ∴或 ∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 4.(2013·北京)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________. 答案　2　2n＋1－2 解析　设等比数列的公比为q，由a2＋a4＝20，a3＋a5＝40. 得20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解之得q＝2，且a1＝2. 因此Sn＝＝2n＋1－2. 5.(2012·辽宁)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案　2n 解析　先判断数列的项是正数，再求出公比和首项. a＝a100，根据已知条件得2＝5，解得q＝2. 所以aq8＝a1q9，所以a1＝2，所以an＝2n. 题型一　等比数列的基本运算 例1　(1)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　) A.B. C. D. (2)在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________. 思维启迪　利用等比数列的通项公式与前n项和公式列方程(组)计算. 答案　(1)B　(2)4或－4 解析　(1)显然公比q≠1，由题意得， 解得或(舍去)， ∴S5＝＝＝. (2)设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则，两式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. 所以或.故a3＝4或a3＝－4. 思维升华　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解. 　(1)在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，且|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　) A.9B.10 C.11 D.12 (2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (3)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　) A.或5B.或5C. D. 答案　(1)C　(2)