【2017年整理】步步高理科数学6.4.docVIP

§6.4　数列求和 1.求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式 (Ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1； (Ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝. (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解. 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2.常见的裂项公式 (1)＝－； (2)＝； (3)＝－. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　√　) (2)当n≥2时，＝(－).(　√　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(　×　) (4)数列{＋2n－1}的前n项和为n2＋.(　×　) (5)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　√　) (6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　√　) 2.(2012·大纲全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　) A.B. C. D. 答案　A 解析　利用裂项相消法求和. 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15， ∴∴ ∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ∴＝＝－， ∴数列的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝. 3.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为(　　) A.2n＋n2－1B.2n＋1＋n2－1 C.2n＋1＋n2－2D.2n＋n2－2 答案　C 解析　Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋(2n－1)) ＝＋＝2n＋1－2＋n2. 4.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　) A.200B.－200C.400 D.－400 答案　B 解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 5.3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝________. 答案　4－ 解析　设S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×， 则S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×. 两式相减得S＝3×＋(＋＋…＋)－. ∴S＝3＋(＋＋…＋)－ ＝3＋－＝4－. 题型一　分组转化求和 例1　已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项和Sn. 思维启迪　先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解. 解　由已知得，数列{an}的通项公式为 an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n) ＝＋ ＝n(3n＋1)＋2n＋1－2. 思维升华　某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论. 　求和Sn＝1＋＋＋…＋. 解　和式中第k项为 ak＝1＋＋＋…＋＝＝2. ∴Sn＝2 ＝2[(1＋1＋…＋1－(＋＋…＋)] n个＝2＝＋2n－2. 题型二　错位相减法求和 例2　已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn. 思维启迪　(1)列方程组求{an}的首项、公差，然后写出通项an. (2)q＝1时，bn为等差数列，直接求和；q≠1时，用错位相减法求和. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得，解得. 故an＝3＋(n－