【2017年整理】步步高理科数学7.1.docVIP

§7.1　不等关系与一元二次不等式 1.不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式. 2.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (a，b∈R)； (2)作商法 (a∈R，b0). 3.不等式的性质 (1)对称性：abba； (2)传递性：ab，bcac； (3)可加性：aba＋cb＋c， ab，cda＋cb＋d； (4)可乘性：ab，c0acbc， ab0，cd0acbd； (5)可乘方：ab0anbn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：ab0 (n∈N，n≥2). 4.“三个二次”的关系 判别式Δ＝b2－4acΔ0 Δ＝0 Δ0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根 有两相异实根x1，x2(x1x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c0(a0)的解集 {x|xx1或xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R} ax2＋bx＋c0(a0)的解集 {x|x1xx2} ? 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)abac2bc2. (　×　) (2)ab0，cd0. (　√　) (3)若ab0，则ab. (　√　) (4)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　) (5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(　×　) (6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　) 2.设ab0，则下列不等式中不成立的是(　　) A.B. C.|a|－bD. 答案　B 解析　由题设得aa－b0，所以有成立， 即不成立. 3.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a0的解集是(　　) A.(2,3)B.(－∞，2)∪(3，＋∞) C.D.∪ 答案　A 解析　由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a0即为x2－5x＋60，解集为(2,3). 4.若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)0，则实数k的取值范围是________. 答案　[1,4] 解析　可判断k＝0或k0均不符合题意，故k0. 于是原不等式即为k(x－)(x－4)0(x－)(x－4)0， 依题意应有3≤≤5且k0，∴1≤k≤4. 5.(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________. 答案　(－5,0)∪(5，＋∞) 解析　由已知得f(0)＝0，当x0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝ 不等式f(x)x等价于或 解得：x5，或－5x0. 题型一　不等式的性质及应用 例1　(1)设ab1，c0，给出下列三个结论： ①；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c). 其中所有正确结论的序号是(　　) A.①B.①② C.②③ D.①②③ (2)(2012·四川)设a，b为正实数.现有下列命题： ①若a2－b2＝1，则a－b1；②若－＝1，则a－b1；③若|－|＝1，则|a－b|1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 思维启迪　利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件. 答案　(1)D　(2)①④ 解析　(1)∵ab1，∴. 又c0，∴，故结论①正确；函数y＝xc(c0)为减函数，又ab，∴acbc，故结论②正确； 根据对数函数的单调性，logb(a－c)logb(b－c)loga(b－c)，故③正确.∴正确结论的序号是①②③. (2)①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数， 若a－b≥1，则必有a＋b1，不合题意，故①正确. ②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可. 如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝1，故②错. ③中，a，b为正实数，所以＋|－|＝1， 且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|1，故③错. ④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)| ＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1. 若|a－b|≥1，不妨取ab1，则必有a2＋ab＋b21，不合题意，故④正确. 思维升华　判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要