【2017年整理】步步高理科数学7.2.docVIP

§7.2　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线. (2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3.应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解. (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(　×　) (2)不等式x2－y20表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.(　√　) (3)不等式组表示的平面区域是下图中的阴影部分.(　×　) (4)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　√　) (5)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　√　) (6)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(　×　) 2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　) A.(0,0)B.(－1,1) C.(－1,3)D.(2，－3) 答案　C 解析　把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C. 3.若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是(　　) A.3B. C.2 D.2 答案　C 解析　因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形， 易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)， 故|AB|＝，|AC|＝2，其面积为×|AB|×|AC|＝2. 4.(2013·湖南)若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是(　　) A.－B.0 C. D. 答案　C 解析　画出可行域如图. 设z＝x＋2y，平行移动直线y＝－x＋z，当直线y＝－x＋过点M时，z取最大值， 所以(x＋2y)max＝. 5.(2013·浙江)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________. 答案　2 解析　作出可行域如图阴影部分所示： 由图可知当0≤－k时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意.综上可知，k＝2.  题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1　若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是(　　) A. B. C. D. 思维启迪　画出平面区域，显然点在已知的平面区域内，直线系过定点，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可. 答案　A解析　不等式组表示的平面区域如图所示. 由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域. 因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D. 当y＝kx＋过点时，＝＋， 所以k＝.思维升华　二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点. 　如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，试写出△ABC及其内部区域所对应的二元一次不等式