【2017年整理】步步高理科数学7.3.docVIP

§7.3　基本不等式及其应用 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同号). (3)ab≤2 (a，b∈R). (4)≥2 (a，b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　) (2)ab≤()2成立的条件是ab0.(　×　) (3)函数f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于4.(　×　) (4)x0且y0是＋≥2的充要条件.(　×　) (5)若a0，则a3＋的最小值为2.(　×　) (6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).(　√　) 2.当x1时，关于函数f(x)＝x＋，下列叙述正确的是(　　) A.函数f(x)有最小值2B.函数f(x)有最大值2 C.函数f(x)有最小值3D.函数f(x)有最大值3 答案　C 3.若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A.a2＋b22abB.a＋b≥2 C.＋D.＋≥2 答案　D 解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误. 对于B、C，当a0，b0时，明显错误. 对于D，∵ab0，∴＋≥2 ＝2. 4.设x，y∈R，a1，b1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　) A.2B. C.1 D. 答案　C 解析　由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a1，b1知x0，y0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，则＋的最大值为1. 5.(2013·天津)设a＋b＝2，b0，则当a＝________时，＋取得最小值. 答案　－2 解析　由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b0，|a|0，所以＋≥2 ＝1，因此当a0时，＋的最小值是＋1＝；当a0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.题型一　利用基本不等式求最值 例1　(1)已知x0，y0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________； (2)当x0时，则f(x)＝的最大值为________. 思维启迪　利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把＋中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式. 答案　(1)3＋2　(2)1 解析　(1)∵x0，y0，且2x＋y＝1， ∴＋＝＋ ＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号. (2)∵x0，∴f(x)＝＝≤＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号. 思维升华　(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”. (2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式. 　(1)已知正实数x，y满足xy＝1，则(＋y)·(＋x)的最小值为________. (2)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________. 答案　(1)4　(2)3 解析　(1)依题意知，(＋y)(＋x)＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故(＋y)·(＋x)的最小值为4. (2)∵x0，y0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号. 题型二　不等式与函数的综合问题 例2　(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　) A.(－∞，－1)B.(－∞，2－1) C.(－1,2－1)D.(－2－1,2－1) (2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________. 思维启迪　对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案　(1)B　(2)[－，＋∞) 解析　(1)由f(x)0得32x－(k＋1)·3x＋20， 解得k＋13x＋，而3x＋≥2(当且仅当3x＝， 即x＝log3时，等号成立)， ∴k＋12，即k2－1. (2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3. 设g(x)＝x＋，x∈N*，