【2017年整理】步步高理科数学7.5.docVIP

§7.5　直接证明与间接证明 1.直接证明 综合法 分析法 定义 从已知条件和某些数学定义、定理、公理等出发，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件. 思维过程 由因导果 执果索因 证题步骤 P(已知)?P1 ?P2?… ?Pn?Q(结论) Q(结论)?Q1 ?Q2?… ?Qn?P(已知) 文字语言 因为…，所以… 或由…，得… 要证…，只需证…，即证… 符号语言 ? ? 2.间接证明 反证法 定义 要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法. 证明步骤 (1)分清命题的条件和结论； (2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (3)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止； (4)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立. 适用范围 (1)否定性命题； (2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“惟一”等词语的； (3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的； (4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明. (　×　) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件. (　×　) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”. (　×　) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾. (　×　) (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程. (　√　) (6)证明不等式eq \r(2)＋eq \r(7)eq \r(3)＋eq \r(6)最合适的方法是分析法. (　√　) 2.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是 (　　) A.ac2bc2 B.a2abb2 C.eq \f(1,a)eq \f(1,b) D.eq \f(b,a)eq \f(a,b) 答案　B 解析　a2－ab＝a(a－b)， ∵ab0，∴a－b0，∴a2－ab0，∴a2ab. ① 又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2， ② 由①②得a2abb2. 3.设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x0)，则a与b的大小关系为 (　　) A.ab B.ab C.a＝b D.a≤b 答案　A 解析　a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x0时，0b1， ∴ab. 4.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　) A.a，b，c中至少有两个偶数 B.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 C.a，b，c都是奇数 D.a，b，c都是偶数 答案　B 解析　自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数. 5.如果aeq \r(a)＋beq \r(b)aeq \r(b)＋beq \r(a)，则a、b应满足的条件是________. 答案　a≥0，b≥0且a≠b 解析　∵aeq \r(a)＋beq \r(b)－(aeq \r(b)＋beq \r(a))＝eq \r(a)(a－b)＋eq \r(b)(b－a) ＝(eq \r(a)－eq \r(b))(a－b)＝(eq \r(a)－eq \r(b))2(eq \r(a)＋eq \r(b)). ∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(eq \r(a)－eq \r(b))2(eq \r(a)＋eq \r(b))0. 故aeq \r(a)＋beq \r(b)aeq \r(b)＋beq \r(a)成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b. 题型一　综合法的应用 例1　对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足： ①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数. (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0； (2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝eq \r(x)(x∈[0,1])是否是理想函数. 思维启迪　(1)取特殊值代入计算即可证明； (2)对照