【2017年整理】步步高理科数学7.6.docVIP

§7.6　数学归纳法 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立.(　×　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(　×　) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(　×　) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(　×　) (5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(　√　) 2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A.1B.2 C.3 D.0 答案　C 解析　凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3. 3.若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(1)为(　　) A.1B. C.1＋＋＋＋D.非以上答案 答案　C 解析　等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C. 4.设f(n)＝＋＋…＋，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝________. 答案　－ 解析　f(n＋1)－f(n)＝＋＋…＋＋＋－(＋＋…＋)＝＋－＝－. 5.用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋n(n∈N*，n1)”时，由n＝k(k1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________. 答案　2k 解析　当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋k； 当n＝k＋1时，要证的式子为1＋＋＋…＋＋＋＋…＋k＋1. 左边增加了2k项. 题型一　用数学归纳法证明等式 例1　求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋). 思维启迪　证明时注意等式两边从n＝k到n＝k＋1时的变化. 证明　①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)， 这就是说当n＝k＋1时等式也成立. 由①②可知，对所有n∈N＋等式成立. 思维升华　用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立. (2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法. 　用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋…＋＝. 证明　(1)当n＝1时，左边＝＝， 右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝， 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立. 题型二　用数学归纳法证明不等式 例2　已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥. (1)求a的值； (2)设0a1，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an. 思维启迪　(1)利用题中条件分别确定a的范围，进而求a； (2)利用数学归纳法证明. (1)解　由题意，知f(x)＝ax－x2＝－(x－)2＋. 又f(x)max≤，所以f()＝≤. 所以a2≤1. 又x∈[，]时，f(x)≥， 所以即 解得a≥1. 又因为a2≤1，所以a＝1. (2)证明　用数学归纳法证明： ①当n＝1时，0a1，显然结论成立. 因为当x∈(0，)时，0f(x)≤， 所以0a2＝f(a1)≤. 故n＝2时，原不等式也成立. ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0ak成立. 因为f(x)＝ax－x2的对称轴为直线x＝， 所以当x∈(0，]时，f(x)为增函数. 所以由0ak≤，得0f(ak)f(). 于是，0ak＋1＝f(ak)－·＋－＝－. 所以当n＝k＋1时，原不等式也成立. 根据①②，知对任何n∈N*，不等式an成立. 思维升华　用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时命题成立证n＝k＋1