【2017年整理】步步高理科数学8.2.docVIP

§8.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角). ②范围：. 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　√　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　×　) (3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　×　) (4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　×　)(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(　√　) 2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　) A.一定是异面直线B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 答案　C 解析　由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾. 3.下列命题正确的个数为(　　) ①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A.0B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确； 两条平行线可以确定一个平面，∴②正确； 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确. 4.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且Cl，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 答案　D 解析　∵ABγ，M∈AB，∴M∈γ. 又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β. 根据公理3可知，M在γ与β的交线上. 同理可知，点C也在γ与β的交线上. 5.已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：①MN≥(AC＋BD)；②MN(AC＋BD)；③MN＝(AC＋BD)；④MN(AC＋BD). 其中正确的是________. 答案　④ 解析　如图，取BC的中点O， 连接MO、NO， 则OM＝AC，ON＝BD， 在△MON中，MNOM＋ON＝(AC＋BD)， ∴④正确. 题型一　平面基本性质的应用 例1　如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点. 思维启迪　(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面； (2)可以先证CE与D1F交于一点，然后再证该点在直线DA上. 证明　(1)连接EF，CD1，A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E、C、D1、F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EFCD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点. 思维升华　公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据. 　(1)以下四个命题中 ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是(　　) A.0B.1 C.2 D.3 (2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定________个平面. 答案　(1)B　(2)9 解析　(1)①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若