【2017年整理】步步高理科数学9.1.docVIP

§9.1　直线的方程 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为[0°，180°). (2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 2.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1； (2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1； (3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0； (4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0. 4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(　√　) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(　×　) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(　×　) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(　×　) (6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(　×　) (7)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示.(　×　) (8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(　√　) 2.如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案　C 解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－0，在y轴上的截距－0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限. 3.若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________________________________. 答案　45°或135° 解析　由|k|＝|tan α|＝1，知：k＝tan α＝1或k＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°. 4.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点.则直线l的倾斜角的取值范围为____________. 答案　∪ 解析　直线l的斜率k＝＝1－m2≤1. 若l的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈∪. 5.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. 答案　x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0 解析　①若直线过原点，则k＝－， ∴y＝－x，即4x＋3y＝0. ②若直线不过原点.设＋＝1，即x＋y＝a. ∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0. 题型一　直线的倾斜角与斜率 例1　经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________. 思维启迪　本题考查斜率求解公式以及k与α的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论. 答案　[－1,1]　[0，]∪[，π) 解析　如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB0，kPA0，故k0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k0时，α为锐角. 又kPA＝＝－1， kPB＝＝1，∴－1≤k≤1. 又当0≤k≤1时，0≤α≤； 当－1≤k0时，≤απ. 故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π). 思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0). 　(1)若直线l与直线y＝1，x