【2017年整理】步步高理科数学9.2.docVIP

§9.2　两直线的位置关系 1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交 交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组无解； 重合方程组有无数个解. 3.三种距离公式 (1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离： |AB|＝ . (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离： d＝ . (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2l1∥l2. (　×　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　×　) (3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(　√　) (6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.(　√　) 2.若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为(　　) A.B. C.10 D.－10 答案　D 解析　∵＝－2，∴a＝－10. 3.直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________. 答案　－4 解析　因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C＝－4. 4.已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_____________. 答案　x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 解析　设l1的方程为x＋y＋c＝0，则＝. ∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3. 5.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________. 答案　 解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0， 则两平行线间的距离为d＝＝. 题型一　两条直线的平行与垂直 例1　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值. (1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 思维启迪　本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况. 解　(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a. 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0. 又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾). ∴此种情况不存在，∴k2≠0. 即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2， ∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.① 又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②联立，解得a＝2，b＝2. (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在， k1＝k2，即＝1－a.③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，④ 联立③④，解得或 ∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 思维升华　当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件. 　已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2. 解　(1)方法一　当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α. 要使l1∥l2，需－＝－2sin α， 即sin α＝±. 所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等. 故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 方法二　由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0， 所以sin α＝±. 又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0