【2017年整理】步步高理科数学9.4.docVIP

§9.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　　方法位置关系几何法 代数法 相交 dr Δ0 相切 d＝r Δ＝0 相离 dr Δ0 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r10)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r (r20). 方法位置关系　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离 dr1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|dr1＋r2 两组不同的实数解内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d|r1－r2|(r1≠r2) 无解 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(　×　) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　×　) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　×　) (4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　×　) (5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　) (6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　√　) 2.(2013·安徽)直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A.1 B.2 C.4 D.4 答案　C 解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝1，截得弦长l＝2＝4. 3.圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　) A.1条B.2条C.3条D.4条 答案　B 解析　⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4， 圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2. ⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2. ∴|C1C2|＝，∴|r1－r2|＝0|C1C2|r1＋r2＝4， ∴两圆相交，有两条公切线. 4.两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上，则m＋c的值等于________. 答案　3 解析　由题意，知线段AB的中点在直线x－y＋＝0上， ∴－2＋＝0，∴m＋c＝3. 5.若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________. 答案　(－，) 解析　由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是1，解得－k，即k∈(－，). 题型一　直线与圆的位置关系 例1　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长. 思维启迪　直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定. 方法一　(1)证明　由 消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0， 因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)0， 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点， 则直线l被圆C截得的弦长 |AB|＝|x1－x2| ＝2＝2 ， 令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0， 当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R， 所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0， 故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2. 方法二　(1)证明　圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×80， 故11k2－4k＋80对k∈R恒成立， 所以R2－d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解　由平面几何知识， 知|AB|＝2＝2 ，下同方法一. 方法三　(1)证明　因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝2＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P. 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点. (2)解　由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直