【2017年整理】步步高理科数学专题三.docVIP

专题三　高考中的数列问题 1.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于 (　　) A.－20 B.0 C.7 D.40 答案　A 解析　记等比数列{an}的公比为q，其中q≠1， 依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0. 即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0， 又q≠1，因此有q＝－3，S4＝eq \f(1×[1－?－3?4],1＋3)＝－20，选A. 2.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于(　　) A.12 B.10 C.8 D.2＋log35 答案　B 解析　等比数列{an}中，a5a6＝a4a7， 又因为a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9， log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3(a5a6)5＝5log3(a5a6)＝5log39＝10. 3.若正项数列{an}满足lg an＋1＝1＋lg an，且a2 001＋a2 002＋a2 003＋…＋a2 010＝2 013，则a2 011＋a2 012＋a2 013＋…＋a2 020的值为 (　　) A.2 013·1010 B.2 013·1011 C.2 014·1010 D.2 014·1011 答案　A 解析　由条件知lg an＋1－lg an＝lg eq \f(an＋1,an)＝1，即eq \f(an＋1,an)＝10，所以{an}为公比是10的等比数列.因为(a2 001＋…＋a2 010)·q10＝a2 011＋…＋a2 020，所以a2 011＋…＋a2 020＝2 013·1010，选A. 4.已知数列{an}满足an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则{an}的前n项和Sn＝________. 答案　2n＋1－2－n 解析　∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1， ∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝eq \f(2×?1－2n?,1－2)－n＝2n＋1－2－n. 5.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________. 答案　392 解析　将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故填392. 题型一　等差、等比数列的综合问题 例1　在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝，证明：数列{bn}为等比数列； (3)求数列{nbn}的前n项和Tn. 思维启迪　(1)设出数列{an}的通项公式，结合已知条件列方程组即可求解； (2)由(1)写出bn的表达式，利用定义法证明； (3)写出Tn的表达式，考虑用错位相减法求解. (1)解　由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝30,a1＋19d＝50))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝12,d＝2)). 所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. (2)证明　由(1)，得bn＝＝22n＋10－10＝22n＝4n， 所以eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(4n＋1,4n)＝4. 所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列. (3)解　由nbn＝n×4n，得 Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n， ① 4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1， ② ①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1 ＝eq \f(4?1－4n?,－3)－n×4n＋1. 所以Tn＝eq \f(?3n－1?×4n＋1＋4,9). 思维升华　(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列. (2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}