【2017年整理】步步高理科数学专题五.docVIP

专题五　高考中的圆锥曲线问题 1.已知F1、F2为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________. 答案　8 解析　由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a， 又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20， 即|AB|＝8. 2.设AB为过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 (　　) A.eq \f(p,2) B.p C.2p D.无法确定 答案　C 解析　当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短， 这时x＝eq \f(p,2)，∴y＝±p，|AB|min＝2p. 3.若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.6 答案　B 解析　双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),a)x，即eq \r(3)x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2,0)，半径为r＝2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，另一方面，圆心C(2,0)到双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1的渐近线eq \r(3)x－ay＝0的距离为d＝eq \f(|\r(3)×2－a×0|,\r(3＋a2))＝eq \f(2\r(3),\r(3＋a2))，所以eq \f(2\r(3),\r(3＋a2))＝eq \r(3)，解得a2＝1，即a＝1，该双曲线的实轴长为2a＝2. 4.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 (　　) A.(－2,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(－1,2) 答案　B 解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l， AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|， ∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|， 当且仅当A、P、N三点共线时取等号. ∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1， 则可排除A、C、D，故选B. 5.设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))等于 (　　) A.eq \f(3,4) B.－eq \f(3,4) C.3 D.－3 答案　B 解析　方法一　(特殊值法) 抛物线的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A(eq \f(1,2)，1)，B(eq \f(1,2)，－1)， ∴eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))＝eq \f(1,4)－1＝－eq \f(3,4). 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2. 由抛物线的过焦点的弦的性质知： x1x2＝eq \f(p2,4)＝eq \f(1,4)，y1y2＝－p2＝－1. ∴eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)－1＝－eq \f(3,4). 题型一　圆锥曲线中的范围、最值问题 例1　(2012·浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，eq \f(1,2))到抛 物线C：y2＝2px(p0)的准线的距离为eq \f(5,4).点M(t,1)是C上的定点，A，B 是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上. (1)求曲线C的方程及t的值； (2)记d＝eq \f(|AB|,\r(1＋4m2))，求d的最大值. 思维启迪　(1)依条件，构建关于p，t的方程； (2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值. 解　(1)y2＝2px(p0)的准线x＝－eq \f(p,2)， ∴1－(－eq \f(p,2))＝eq \f(5,4)，p＝eq \f(1,2)， ∴抛