【2017年整理】步步高高中数学理科文档第九章 9.8.docVIP

§9.8　曲线与方程 1.曲线与方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 3.两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点. (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　√　) (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　×　) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　) (4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　×　) 2.方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是(　　) 答案　C 解析　由题意可得x＋y＋1＝0或 它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分. 3.已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　) A.2x＋y＋1＝0B.2x－y－5＝0 C.2x－y－1＝0D.2x－y＋5＝0 答案　D 解析　由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 4.已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹方程是__________. 答案　y2＝x 解析　＝(3－x，－y)，＝(－2－x，－y)， ∴·＝(3－x)(－2－x)＋y2＝x2－x－6＋y2＝x2－6，∴y2＝x. 5.已知两定点A(－2,0)、B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________. 答案　4π 解析　设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得＝2， ∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0. ∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π. 题型一　定义法求轨迹方程 例1　已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线. 思维启迪　利用两圆内、外切的充要条件找出点M满足的几何条件，结合双曲线的定义求解. 解　如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0).设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1； 由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝3. ∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支. ∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝. ∴点M的轨迹方程为－＝1 (x≤－). 思维升华　求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量. 　已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　) A.双曲线B.椭圆 C.圆D.抛物线 答案　D 解析　由已知得，|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线. 题型二　相关点法求轨迹方程 例2　设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程. 思维启迪　设△ABC的重心坐标为G(x，y)，利用重心坐标公式建立x，y与△ABC的顶点C的关系，再将点C的坐标(用x，y表示)代入抛物线方程即得所求. 解　设△ABC的重心为G(x，y)， 点C的坐标为C(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由方