(关于实数完备性的基本定理.docVIP

目 录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Key Words 1 前言 1 1 预备知识 1 1.1关于确界的定义 1 1.2 极限的定义 2 1.3 区间套的定义 2 1.4 聚点的定义 3 1.5 有限覆盖的定义 3 2 关于实数完备性的基本定理 3 2.1 确界定理 3 2.2 单调有界定理 4 2.3 区间套定理 4 2.4 聚点定理和致密性定理 5 2.5 有限覆盖定理 5 2.6 柯西收敛准则 5 结语 6 参考文献 6 关于实数完备性的基本定理 摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明. 关键词：实数；完备性 Basic Theorems of Real Number Completeness Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real, including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthy convergence criterion, and some related examples to illustrate. Key Words: Real number; Completeness 前言 数学分析的基础是实数理论.实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分.正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.数学分析初于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域. 实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是批次等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，他们从不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值. 1 预备知识 1.1关于确界的定义 设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得对一切都有，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界（下界）. 若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集. 设S是R中的一个数集.若数满足： (i) 对一切，有，即是S的上界； (ii) 对任何，存在，使得，即又是S的最小上界，则称 数为数集S的上确界，记作 设S是R中的一个数集.若数满足： (i) 对一切，有，即是S的下界； (ii) 对任何，存在，使得，即又是S的最大下界，则称数为数集S的下确界，记作 上确界与下确界统称为确界. 1.2 极限的定义 设为数列, 为定数.若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时有 则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作 ，或， 读作“当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于”. 1.3 区间套的定义 设闭区间列具有如下性质： (i) ,n=1,2,…； (ii) , 则称为闭区间套，或简称区间套. 1.4 聚点的定义 设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）.若的任何邻域上都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点. 对于点集S，若点的任何邻域上都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点. 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点. 1.5 有限覆盖的定义 设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）. 2 关于实数完备性的基本定理 2.1 确界定理 设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界. 推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 例1 设A,B为非空数集，满足：对一切和有.证明：数集A有上确界，数集B有下确界，且 证 由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B的下界，故由确