(几种特殊函数的积分.docVIP

??函数 （ ） （其中m和n为非负整数， 及 是实数）称为有理分式函数， 时，叫真分式， 时，叫假分式，一个假分式可化成一个多项式和一个真分式之和，如： ， 与 没有公因子时，称为既约分式， 一个既约有理真分式可分解成部分分式之和（最简分式之和），如：??? 定理 如果 在实数范围内能分解成一次因式和两次质因式的乘积: 则真分式 可以分解成部分分式之和:???? ???? 其中 等都是常数。 关于有理分式函数的积分，可将其化为多项式及部分分式之和后再积分，从上面定理可看出，有理函数分解后可能出现三类函数：多项式、 、 。前两类积分很简单，第三类可做代换 ，则 上式中的第二个积分可用第三节中的递推公式。下面通过例题讲解如何将有理函数化为部分分式。 例1 解 （1）化为真分式： ???（2） （ 为待定常数） ???????? （*） 令 ，令 由： （ 也可用待定系数法计算，（*）式化为 ??????? ， 比较等号两边 同次幂的系数得 ） （3） 而 故：原式 例2 积分方法：用“万能代换 ”将其化为关于?t?的有理函数的积分。 代入积分得 例3 解：令 万能代换是一般的方法，但不一定是最简单的方法，可根据题目选择较简的方法。请看： 例4 法一： 法二： 法三： ? 例5 （ ） ???? ???? 积分方法：用换元法去掉根号，将其化成有理函数的积分。 例6 解： 令 ???? 例7 解：直接去根号较繁，先化简再去根号，原式 令 则有 原式= 也可令 ，于是有 例8 （?令 ） 例9 （?令 ） 例10 （?令 ） DDY整理 7