21函数及其表示-学生.doc

§2.1　函数及其表示 1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念． 1． 函数的基本概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法． 2． 映射的概念 设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 3． 函数解析式的求法 求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4． 常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax (a0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝tan x的定义域为. (6)函数f(x)＝xa的定义域为{x|x∈R且x≠0}． [难点正本　疑点清源] 1． 函数的三要素 函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等． 2． 函数与映射 (1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数． 3． 函数的定义域 (1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑； (2)求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法： ①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式得aq(x)b即可求出y＝f(q(x))的定义域； ②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 1． (2011·浙江)设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________. 2． (课本改编题)给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x (x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数． 其中正确命题的序号有________． 3． 函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 4． (2012·江西)下列函数中，与函数y＝ 定义域相同的函数为(　　) A．y＝ B．y＝C．y＝xex D．y＝ 5． (2012·福建)设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．π 题型一　函数的概念 例1　有以下判断： (1)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数； (2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个； (3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数； (4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0. 其中正确判断的序号是________． 思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断． 探究提高　函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断． 下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝·，g(x)＝ 题型二　求函数的解析式 例2　(1)已知f＝lg x，求f(x)； (2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x