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线性控制系统教案5-Youla参数化2[精选]
第五章:Youla 参数化和H-(最优控制
The Youla Parametrization and H-( Optimal Control
5.1 稳定分式表示(stable fractional representation-SFR)
称是内部稳定的,或镇定。
图5.1 标准反馈系统
求出 (负反馈条件下)
SFR意义下的单模阵(幺模阵, unimodular): 与都是稳定有理分式,即。
设,
,
定义: 右互质(right coprime)
如果
只对单模阵 成立,则称与右互质;
这时称 是不可约的(irreducible)
怎样判定与右互质?
存在稳定分式矩阵使得。
如果 是不可约的(irreducible),则的极点是的零点。
SFR表示不是唯一的。
按上面的表示,
定理:图5.1所示反馈系统内部稳定的充要条件是
是单模阵,即。
不失一般性,可以设,进而,可以得到,如果镇定,则存在,
使得,
,
且满足 。
所有控制器的参数化
由上式可以得到,为任意稳定有理真分式,则所有控制器的Youla参数化表示为:
。
如果是稳定的,则闭环系统内部稳定(镇定)当且仅当是(指数)稳定的。
(按定理3.5,得出如果稳定,闭环系统稳定当且仅当稳定.)
这时 ,,
,灵敏度函数。
因此可得任意控制器为,即
---所有控制器的Youla参数化表示。
稳定的传递函数集是一个环(ring)—stable fractional representations
例5.1
(问题:上例中的MFD描述是怎样的?)
所以
检验:
另一方面,,
则 确定。
5.2 H-(最优化问题 H-( Optimization problem
不精确已知被控对象的标准反馈结构如图6.1(P185)。
无摄动时如图6.2(P186),设
使得。使用反馈得到
实际设计中通常要求:
这就是H-(最优化问题 H-( Optimization problem
本章内容:1) 问题是怎样产生(引出)的?
2) 怎样用状态空间算法求解.
问题求解的思路:首先应使系统稳定,给出所有镇定控制器的结构(给出所有控制器的参数化表示);然后从控制器中选出最优的。
5.2.1 一个有启发意义的例子:灵敏度最小
A motivating example: sensitivity minimization
图6.3(P187)所示,SISO系统,设是未知扰动,但频谱限制在,寻找一个控制器使得扰动对输出的影响最小
---灵敏度函数,在该频率段上幅值最小,但超出该段将导致噪声放大,使稳定性(裕度)变差。
通常设计取权函数
则最小化问题 。
如定义,则,,。灵敏度函数 。
这时优化问题转化为
应用Youla参数化方法使我们转化设计问题作为一个几乎不受约束的优化问题(任意取,保证系统正则稳定)。
该例显示:Youla参数化可以简化优化问题。如果取幅值最小,则最优值是常值,即全通函数。因此,选择权函数是至关重要的,这是一个敏感的(sensible)工程问题。
注意:有时最优解是不可实现的;即问题可能无解(解是非正则控制器)。有的问题不用Youla参数化求解,不是H-(问题。
5.3 H-(控制问题公式化
The H-( problem formulation
5.3.1 几个H-(问题的例子
灵敏度最小 sensitivity minimization
一般考虑是方形情况,当行比列多(列比行多)更复杂。
加摄动下的鲁棒性 Robustness to additive perturbations
如图6.4,6.5(P190-191),摄动的界依赖于与频率有关的函数
由小增益定理,如果,则闭环系统鲁棒稳定。
转化为标准形式
则
混合特性和鲁棒性目标
Mixed performance and robustness objective
为了得到好的干扰抑制性能(disturbance-rejection performance)和鲁棒稳定性(robust stability),通常要求保持
不能同时实现。在不同频率域上加权
设
5.3.2 性能鲁棒:一个未解决的(unsolved)问题
有些重要的设计问题不能转化为H-(问题,如性能鲁棒当存在未建模摄动时。某些性能鲁棒问题可以转化为如下问题:
其中是对角的,可通过迭代求解或,给定求是标准H-(问题,给定求是凸(convex)优化问题。同时求最优的和不易实现。
5.4 Youla 参数化The Youla (or Q) parametrization
5.4.1 fractional repr
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