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线性系统理论 数学基础_绪论 “线性系统理论”硕士学位课 课程目的 学习、掌握线性多变量系统的分析、设计方法。 了解控制理论领域必威体育精装版研究成果。 主要内容 数学描述 运动分析 能控性与能观性 系统的运动稳定性 线性反馈系统的时间域综合 “线性系统理论”工程硕士学位课 课本： 《线性系统理论》第2版,郑大钟,清华大学出版社 参考书： 《线性系统理论》第2版,段广仁,哈尔滨工业大学出版社 第0章 数学基础 * 第一讲 作为学习本课程的准备工作，首先回顾并介绍一些常用数学基础知识。对于一些定理结果，只给出结论而略去证明。 一、线性空间与线性变换 线性空间的定义 在集合上赋予一定的结构或一定的要求，这个集合就称为一个特定的空间。 定义1：设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是 说，给出了一种法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与它们对应，称z为x与y的和,记为z=x+y。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做乘法；这就是说对于数域P中任意一个数k与V中的任意一个元素x，在V中都有唯一的元素h与它们相对应，称h为k与x的数量乘积，记为h=kx。如果加法与数量乘法均满足各自的运算规则，那么，V为数域P上的线性空间。 极易验算这种“+”和“?”满足通常的代数法则，故Rn是实数域R上的线性空间，也称为向量空间。 例: 如果用Rn表示有序的实数组 全体的集合。设 ,在Rn中规定加法和数乘为 显然 定义: 如果V是实数域R上的线性空间, V1是V的一个子集, 在V1上的加法和数乘运算同于V上的运算, 若V1也是实数域R上的线性空间, 则称V1是V的子空间。 为线性无关，此时必然有 设V是实数域R上的线性空间，它的元即是向量。 定义: 设 是V中一组向量（可以重复）， 则称 为线性相关，否则称 如果存在一组不全为0的实数 ，使 是V中一组向量(可以重复),称向量 的线性组合，是指有实数 定义: 设 是 存在，使 线性无关,而 线性相关,则 为 的线性组合, 且表示法唯一。 由上述定义可知,如果 线性变换 定义：设V1,V2均为实数域R上的线性空间,T是由V1到V2的一个映象,当T满足 时,称T为由V1到V2的线性变换或线性算子。V1称为T的定义域。若令 则TV1也是一个线性 空间，它被称为T的值域空间，记为ImT=TV1。在V1=V2时，称他为V1上的线性变换。 二、矩阵代数中的几个结果 定义： 矩阵 中列向量的最大无关组的个数 称为A的列秩; 其行向量的最大无关组的个数称为A的行秩。 定义: 矩阵 记为rank(A)。 的行秩或列秩称为矩阵A的秩 显而易见，对于矩阵 而言，有 rank(A)≤min{m,n} 当rank(A)=m时,我们称A为行满秩矩阵; 当rank(A)=n时,我们称A为列满秩矩阵; 当rank(A)＜min{m,n}时，我们称A为降秩矩阵， 特别当rank(A)＜m时，称A为行降秩的； 当rank(A)＜n时，称A为列降秩的； 当rank(A)=m=n时，称矩阵A是可逆的或非奇异的。 Vendermonde矩阵与友矩阵 Vendermonde矩阵与友矩阵是矩阵代数中的两类重要的矩阵,在控制理论中经常用到。 (1)Vendermonde矩阵 设 为一组复数，定义形如 的矩阵P称为Vendermonde矩阵。 定理: 推论： Vendermonde矩阵P可逆的充要条件是 互异。 (2)友矩阵 设 ，其特征多项式为 D(s)=det(sI -A)=sn+an-1sn-1+…+a1s+a0 我们定义矩阵 为矩阵A的友矩阵（Companion matrix）。 定理： 设矩阵 具有互异特征值 则其友矩阵Ac亦以 为特征值,且Ac与 相对应的特征向量为 推论: 设矩阵 具有互异特征值，则有 其中，矩阵P为Vendermonde矩阵。 定理: 友矩阵可逆的充要条件是 ，且 对于阶数较高的矩阵,直接依据定义去求取其特征多项式比较困难。另外,在许多问题中也常常需要求取矩阵(sI-A)-1,该矩阵称之为矩阵A的豫解矩阵。 豫解矩阵 三、多项式矩阵 如果m×n阶矩阵A(s)的所有元素aij=aij(s)均为变量s的实系数多项式，则称A(s)为一个关于s的m×n阶实数域上的多项式矩阵，其全体记为 : 基本概念 一个m×n阶的多项式矩阵A(s)具有下述一般表示 其中， 均