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线性组合与线性相关2[精选]

* * 1.n元线性方程组Ax=b有解 . 且: 无穷多解。 一、线性方程组解的判定定理 有唯一解; 2.n元齐次线性方程组Ax=0 有非零解。 只有零解; 特别地: (1)方程个数未知数个数时 (2)方程数=未知个数时: 有非零解。 只有零解; ,有非零解。 二、向量组的线性组合 1.线性表示:如果β=k1?1+k2?2+···+ks?s,则称β可由?1,?2,···,?s 线性表示,或称β是?1,?2,···,?s 的线性组合。 2.β能由?1,?2,···,?s线性表示的含义是线性方程组 x1?1+x2?2+···+xs?s=β 有解, 其充要条件是 r(A)=r(A|β) 注:判断β能不能由?1,?2,···,?s线性表示的方法: 把矩阵(?1,?2,···,?s ,β)变换为行阶梯形矩阵,并从中观察r(?1,?2,···,?s) 和r(?1,?2,···,?s,β),进行比较。 即r(?1,?2,···,?s) =r(?1,?2,···,?s,β) 例:设有向量组?1=(1,0,2)T,?2=(1,2,0)T,?3=(2,1,3)T, ?4=(2,5,-1)T,试问?4是否可由?1,?2,?3线性表示?若可以,写出表示式。 解:设有数x1,x2,x3,使得 x1?1+x2?2+x3?3=?4 3 所以方程组有无穷多解, 即?4可由?1,?2,?3线性表示, 且表示方式不唯一。 对 继续施行初等行变换, 最后一个矩阵对应的线性方程组为: 若取x3=1, 所以:-2?1+2?2+?3=?4 若取x3=-1, 所以:?1+3?2-?3=?4 有: x1=-2 有: x1=1 ,x2=2, ,x2=3, 三、向量组的线性相关性 1.线性相关定义:存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks, 使得k1?1+k2?2+···+ks?s=O. 若k1,k2,···,ks必须全为零,则称?1,?2,···,?s 线性无关。 2.?1,?2,···,?s线性相关的含义是齐次线性方程组 x1?1+x2?2+···+xs?s=O 有非零解, (即Ax=0) 线性无关的含义是方程组 其充要条件是 r(A)=s, r(A)s, 即r(?1,?2,···,?s) s. 只有零解 即r(?1,?2,···,?s) =s. 例:设有向量组?1=(1,0,-1,2)T,?2=(-1,-1,2,-4)T, ?3=(2,3,-5,10)T, 试讨论向量组?1,?2,?3及向量组?1,?2的线性相关性。 解: 3 所以?1,?2,?3线性相关; 所以?1,?2线性无关。 例:如果β可由?1,?2,···,?s 线性表示,则表示法唯一的充要条件是?1,?2,···,?s线性无关。 r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s,β) x1?1+x2?2+···+xs?s=β 分析:β可由?1,?2,···,?s线性表示 有解 ?1,?2,···,?s线性无关。 r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s ,β)=s 在此前提下 x1?1+x2?2+···+xs?s=β 有唯一解 ,表示法唯一 例:如果?1,?2,···,?s 线性无关,?1,?2,···,?s,β线性相关,则β可由?1,?2,···,?s线性表示。 r(?1,?2,···,?s)=s 分析:?1,?2,···,?s线性无关 从而β可由?1,?2,···,?s线性表示。 ?1,?2,···,?s,β线性相关 r(?1,?2,···,?s ,β) r(?1,?2,···,?s) r(?1,?2,···,?s ,β) s+1 ≤ s= 所以:r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s ,β) 方程组有唯一解 而且: x1?1+x2?2+···+xs?s=β 有解 s+1 r(?1,?2,···,?s)=r(?1,?2,···,?s ,β) =s ,表示法唯一。 定理:若?1,?2,···,?s线性无关,而?1,?2,···,?s ,β线性相关,则β可由?1,?2,···,?s 线性表示,且表示法唯一。 四、线性相关性与线性组合的关系 1.定理:向量组?1,?2,···,?s (s≥2) 线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s-1个向量线性表示。 例:判断α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3 =(4,3,4)T是否线性相关。 解:显然?1+?2=?3 , 所以?1+?2-?3 =O. 从而α1,α2,α3线性相关。 若?1,?2,···,?s中有一向量可由其余s-1个向量

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