组合数学.二项式定理[精选].doc

第五章 二项式定理 5.1 二项式定理 定理5.1 令n是一个正整数, 那么对于变量x,y(可以是任意实数)有: (x+y)n= xn + xn -1y + xn -2y2+…+ yn-1+ yn. 即(x+y)n= xn -kyk 证明：展开(x+y)n=(x+y) (x+y)…(x+y), n项乘积， 应用乘法对加法分配率， 展开一般项：x n-k yk,(若n-k次选择x必然k次选择y)， 合并同类项，k次选择y的方法数，k=1,2,…,n。 证明：（方法二，归纳法，自己看） 二项式定理的几个其它形式: (1) (x+y)n= xn -kyk (2) (x+y)n= xkyn-k (3) (x+y)n= xkyn-k (4) (1+x)n= xk 5.2 Pascal 公式 杨辉三角（看书），总结，公式化，就是Pascal 公式 定理5.2 对于满足1(k(n-1的所有整数k和n, 有 =+ 证明：（组合分析法） 令S是n元素集合，x是S的任一元素，那么S的k组合的集合X可以分两部分： A：不包含x的k组合； B：包含x的k组合； |X|=|A|+|B|；|X|=，|A|＝，|B|＝。 证明组合恒等式的3种常用方法： 代数法 数学归纳法 组合分析法 5.3 一些有用的恒等式 k=n 证明：（直接验证） ＝ ++…+=2n 证明：二项式定理，令x=y=1。 -++…+(-1)k +…+(-1)n=0 证明：上式，令x=1，y=－1。 －+…+（－1）n=0 ++…+ +…=2n-1 ++…++…=2n-1 1+2+…+n=n2n-1 证明：由恒等式（1） 1×=n 2×=n 、、、 相加：1+2+…+n＝n(++…+)=n2n-1 n(n+1) 2n-2=k2 (n ( 1) 证明：(1+x)n= + x+…+ xn. 两边微分：n(1+x)n-1= +2 x+…+n xn-1. 两边乘x：nx(1+x)n-1= x +2 x2+…+n xn. 两边微分： 令x=1，得n(n+1) 2n-2=k2 类似可求: kp，p为任意正整数。 2= 证明：（组合分析法） 令S为2n个元素的集合，，|S|=2n, |A|=n, |B|=n, S的任一n组合，含有A中的k个元素，B中的n-k个元素，k=1,2,…,n, = 证明：左边相当于从n元素集合中先取r个元素，再从取出的这个r元素集合中取k个元素的组合计数； 另一种计数法： 直接从n元素集合中取k个元素，与第一种方法的区别是少计算了一些重复的k元素组合，如：n=7,r=5,k=3情况 直接取出的k元素集合，少计数了倍。得证。 定义1: 令r可取任意实数, k可取任意整数, 定义的扩展为: = 易证扩展定义仍使Pascal公式成立: =+ ++…+= 证明：＝＋ ＝＋ 、、、 ＝＋＝＋ ++…++= 证明： ＝ 、、、 ＝ 4.3 非降路径问题 （一）非降路径问题 设平面上两点（0，0）和（m，n），由（0，0）开始，一次只能向上走一步，或向右走一步，最终到（m，n）的一条路径。称非降路径。 水平方向向右移动一步，这样的操作称x；垂直方向向上移动一步，这样的操作称y。显然，无论如何移动，到达（m，n）点肯定含m个x和n个y，那么（0，0）到（m，n）点的非降路径问题就定义为m个x和n个y的一个排列。 问题：（0，0）到（m，n）点的非降路径数有多少个？ === 证明组合恒等式： （1）=＋ 证明： （0，0）到（m,n）的非降路径，等价于 （0，0）到（m-1,n）的非降路径， （0，0）到（m,n-1）的非降路径，之和。 （2）++...+= 证明： 表示（0，0）到（m+n-r,r）的非降路径数，（0，0）到（m+n-r,r）的任一非降路径必经过线段（m,0）,（m-r,r）上的某一点，即（m-k,k）,k=0,1,2,…,r。 （0，0）到（m,0）；（m,0）到（m+n-r,r ）非降路径数：； 注：（m,0）到（m+n-r,r ）等价与（0，0）到（n-r,r） （0，0）到（m－1,1）；（m－1,1）到（m+n-r,r ）非降路径数：； 、、、 例 在世乒赛某场比赛的一局中，中国选手以11：7获胜，在比赛过程中未出现5：5及6：6的比分，求有多少种可能表示比赛过程的比分记录？ 解： （0，0）到（10,7）非降路径数：； （0，0）到（5,5），（5，5）到（10,7）非降路径数：； （0，0）到（6,6），（6，6）到（10,7）非降路径数：； （0，0）到（5,