组合数学课件_第一章排列组合习题[精选].ppt

第一章习题 1.证任一正整数n可唯一地表成如下形式： n=∑aii!,0≤ai≤i,i＝1,2,…。 解 2.证 nC(n-1,r) = (r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。解 3.证∑kC(n,k)=n2 。解 4.有n个不同的整数，从中取出两组来， 要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数。问有多少种方案？解 5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。解 6.试求从1到1000000的整数中，0出现了多少次？解 7.n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？解 8.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为( ).解 9.设 n=p1 p2 …pl ,p1、p2、…、pl是l个不同的素数，试求能整除尽数n的正整数数目.解 10.试求n个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？解 11.凸10边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10边形的对角线交于多少个点？又把所有对角线分割成多少段？解 12.试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。解 13.统计力学需要计算r个质点放到n个盒子里去,并服从下列假定之一，问有多少种不同的图象。假设盒子始终是不同的。(a)Maxwell-Boltzmann假定：r个质点是不同的，任何盒子可以放任意数个. (b)Bose-Einstein假定：r个质点完全相同，每一个盒子可以放任意数个. (c)Fermi-Dirac假定：r个质点都完全相同，每盒不超过一个.解 14.从26个英文字母中取出6个字母组成一字，若其中有2或3个母音，问分别可构成多少个字(不允许重复)？解 15.给出( )( )+( )( )+( )( )+…+ ( )( )= ( )的组合意义。解 16.给出( )+( )+( )+…+( )=( )的组合意义。解 17.证明：解( )( )+( )( )+( )( )+…+( )( )=2 ( ) 18.从n个人中选r个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？解 19.分别写出按照字典序由给定排列计算其对应序号的算法及由给定序号计算其对应排列的算法。(解略) 20.(a)按照第19题的要求，写出邻位对换法(排列的生成算法之二)的相应算法。 (b)写出按照邻位对换法由给定排列生成其下一个排列的算法。(解略) 21.对于给定的正整数n,证明当 22.(a)用组合方法证明 和 都是整数. (b)证明 是整数. 解 23.(a)在2n个球中,有n个相同,求从这2n个 球中选取n个的方案数。 (b)在3n+1个球中，有n个相同，求从这3n+1个球中选取n个的方案数。解 24.证明在由字母表{0,1,2}生成的长度为n的字符串中. (a)0出现偶数次的字符串有——个； (b) ( )2 +( )2 +…+( )2 = —— ， 其中q=2 — . 解 25. 5台教学机器m个学生使用，使用第1台和第2台的人数相等，有多少种分配方案？解 26.在由n个0及n个1构成的字符串中，任意前k个字符中，0的个数不少于1的个数的字符串有多少？解 27.在1到n的自然数中选取不同且互不相邻的k个数，有多少种选取方案？解 28.(a)在5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的，有多少个？ (b)在m个0，n个1组成的字符串中,出现01或10的总次数为k的，有多少个？解 习题解答 1.证：对n用归纳法。题 再证表示的唯一性： 设n=∑ai·i!=∑bi·i!, 不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi} aj·j!+aj-1·(j-1)!+…+a1·1! =bj·j!+bj-1·(j-1)!+…+b1·1!, (aj-bj)·j!=∑(bi-ai)·i!≥j!＞∑i·i! ≥∑|bi-ai|·i!≥∑(bi-ai)·i! 另一种证法：令j=min{i|ai≠bi} ∑ai·i!=∑bi·i!, 两边被(j+1)!除,得余数aj·j!=bj·j!,矛盾. 2.证：题 组合意义： 等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个； 等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。 显然两种方案数相同。 3.证： 题